波1(坐标系,矢量代数,梯度)_[兼容模式][1].pdf

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1、第一章矢量分析与场论基础矢量场和标量场三种常用的坐标系矢量的基本运算标量场的梯度矢量场的散度矢量场的旋度亥姆霍兹定理标量和矢量场:在一定的空间中，每个点上都对应着某个物理量的确定值。标量场与矢量场标量：仅具有大小特征的量。例如：温度场、电位场、高度场等。矢量：具有大小和方向特征的量。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。1.1坐标系三种常用的坐标系（直角坐标、圆柱坐标、球坐标）重点：1.三种坐标系中矢量场的表示方法2.三种坐标系中长度元、面积元、体积元的表示方法3.三种坐标系中的单位矢量及其相互关系

2、坐标系坐标系是将空间的点的位置用一组有顺序的、一一对应的数值表示的数学模型。任何描述三维空间的坐标系都要有三个独立的坐标变量坐标面：坐标变量为常数时代表的曲面（或平面）坐标曲线：每两组坐标面的交线正交曲线坐标系：过空间任意M点的三条坐标曲线都两两相互正交。坐标系坐标单位矢量：过空间任意点M的切向单位矢量；模为1，并以各坐标变量正的增加方向作为正方向。一个正交坐标系的坐标单位矢量相互正交并满足右手螺旋法则.aaauuu123aaauuu231aaauuu312直角坐标系z三个坐标变量：x,y,z(-

3、面，点Mz=z平面(x,y,z)是三个坐标面x=x,y=y,z=za1111111z的交点。aayx单位坐标矢量a、a、a，它们相互xyzM正交，而且遵循右手螺旋法则：aaaxyzaaaxx=x平面yyzx1y=y平面aaa1zxy思考：单位坐标矢量a、a、a是不是常矢量？？xyz（常矢量：其方向不随点的位置改变而改变）直角坐标系任意矢量A的表示：AAaaaAAxxyyzz矢量线元：点M(x,y,z)指向相邻点M’(x+dx,y+dy,z+dz)的小矢量dl长度元：矢量线元在点M的三个坐标单位矢量方向上的投影dl=dxxdl=dyydl=

4、dzzdl=adx+ady+adzxyz直角坐标系由点M(x,y,z)沿a、a、a方向分别取微分长度元dx,dy,dz，由x,xyzx+dx,y,y+dy,z,z+dz这六个面决定一个直角六面体。面积元：dS=dydz,dS=dxdz,dS=dxdyxyzdS=adydz+adzdx+adxdy（矢量和）xyz体积元：dV=dxdydz圆柱坐标系三个坐标变量(r,,z)(0r<+,02,-

5、＝z与z轴垂直的平面1圆柱坐标系单位坐标矢量a、a、a，它们相互正交，而且遵循右手螺旋法则：rzaaaaaaaaarzzrzr思考：单位坐标矢量a、a、a是不是常矢量？？rz任意矢量A的表示AAaaaAA特殊情况：矢量从原点出发？rrzz长度元分别是：dlrdrddlaldaldalrrzzdlrdaaadrrddzrzdldzz圆柱坐标系面积元为：dSdldlrddzrzdSdldldrdzrzdSdldlrdrdzrddSaSdaSdaSrrzzaaar

6、ddzdrdzrdrdrz体积元为：dVdldldlrdrddzrz球坐标系三个坐标变量(r,,φ)(0r<+,0,0φ2)点M(r,,φ)是以下三个坐标面的交点:111r=r，以原点为中心，以r为半径的球面11=1，顶点在原点、轴线与z轴重合且半顶角=1的圆锥面φ=φ，包含z轴并与xz平面构成夹角为的半平面11坐标单位矢量a、a、a，r相互正交，而且遵循右手螺旋法则aaaaaarraaar思考：单位坐标矢量a、a、a是不是常矢量？？r球坐标系任意矢量A的表示AaaaAA

7、Arr若矢量从原点出发呢？？长度元为：dlrdrdlrddlrsind矢量形式：ddlaldaldalrr球坐标系面积元为：dSdldlr2sinddrdSdldlrsindrdrdSdldlrdrdr体积元为：2dVdldldlrsindrddr自学内容三种坐标系的坐标变量之间的关系三种坐标系的坐标单位矢量之间的关系三种坐标系坐标变量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系zxrcosryrsin(r,,z)(x,y,z)zzzrxy220y

8、y