哈工大—现代控制理论课件.pdf

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1、第4章系统的运动稳定性现代控制理论主讲教师：张卯瑞主讲教师：张卯瑞谭峰谭峰控制理论与制导技术研究中心控制理论与制导技术研究中心第4章系统的运动稳定性第四章系统的运动稳定性主要内容¢4.1引言¢4.2Lyapunov意义下的稳定性¢4.3Lyapunov稳定性理论¢4.4线性系统的稳定性分析¢4.5线性系统的有界输入-有界输出稳定¢4.6非线性系统的稳定性分析2第4章系统的运动稳定性4.1引言A.研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统正常工作的必要条件，是控制系统分析的重要方面。B.要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡状态继

2、续工作。C.稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，而与输入作用无关。用数学表示就是：limΔX(t)≤εt→∞ε为无穷小量ΔX为系统被调量偏离其平衡位置的大小3第4章系统的运动稳定性古典控制中的稳定性判别方法单输入-单输出线性定常系统Routh判据Hurwitz判据Nyquist判据4第4章系统的运动稳定性¢A.Routh-Hurwitz判据:¢根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从而决定系统的稳定性.由于不必求解方程¢B.Nyquist判据：¢根据闭环控制系统的开环频率响应判断闭环系统稳定性的准则，本质上是一种图解分析方法5第4章系统的运动稳定性由经典控制理论可

3、知，线性系统的稳定性只决定于系统的结构和参数，而与系统的初始条件及外界扰动无关。与此相反，非线性系统的情况要复杂得多。对于非线性、时变、多输入多输出控制系统稳定性问题的研究，经典控制理论无能为力。在解决这类系统的稳定性问题时，最通用的方法是利用俄罗斯科学家李亚普诺夫（A.M.Lyapunov）的稳定性理论来分析和研究。Lyapunov稳定性理论已经成为控制理论的最重要的几个柱石之一。6第4章系统的运动稳定性非线性系统李雅普诺夫方法李雅普诺夫第一法李雅普诺夫第二法7第4章系统的运动稳定性李亚普诺夫方法的提出•1892年，俄国科学家A.M.Lyapunov发表博士论文《运动稳定性的一般问题》•两类

4、解决运动稳定性问题的方法•第一方法：通过求微分方程的解来分析运动稳定性，对于非线性系统，在工作点附近的一定范围内，可以用线性化微分方程来近似描述（局部运动）；•第二方法：通过对系统构造一个“类似能量”的纯量函数，然后考察该函数对时间的变化来判断稳定性。又称直接方法，现今学术界广为应用且影响巨大的方法。•在1960年前后被系统地引入到系统与控制理论中，就很快得到了广泛的应用，不管是理论上还是在应用上都显示出了它的重要性。第4章系统的运动稳定性4.2Lyapunov意义下的稳定性4.2.1几个基本概念非线性动力系统微分方程：xfx"=(,)t（1）其中，xn维状态向量f与x同维的向量函数，它是x的

5、各元素xx12,,,?xn和时间t的函数。9第4章系统的运动稳定性¢自治系统xfx"=(())t¢非自治系统¢基本区别：自治系统的状态轨线不依赖于初始时刻¢平衡状态（平衡点）：¢对于所有t，满足xfxt"ee=(,)0=的状态xe称为平衡状态.¢平衡状态即为系统方程的常数解，或系统的一种静止的运动。¢线性系统,非线性系统的平衡点个数?()①第4章系统的运动稳定性X={xx"=f(x,t)=0,∀t≥t}eeee0X中的孤立点称系统的孤立平衡点。e孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分小的邻域内不存在别的平衡状态。对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的坐标变换，把它变换到状态空间的原点。因此，经常以

6、坐标原点作为平衡状态来研究系统的稳定性。非孤立的平衡状态?(2)第4章系统的运动稳定性4.2.2Lyapunov意义下稳定性的定义x"=f(x,t)非线性系统}fxt(,)0=e任何彼此孤立的平衡点，均可以通过坐标变换，将其移到坐标原点。此时Xe＝0研究平衡状态的稳定性，也即偏离平衡状态的受扰运动能否依靠系统内部的结构因素返回到平衡状态，或限制在他的一个有限领域内。1.稳定与一致稳定2.渐近稳定与一致渐近稳定3.不稳定第4章系统的运动稳定性⎡x1⎤•——表示求欧几里德范数。⎢⎥22x=@则x=x+?+x（即：表示空间距离）⎢⎥1n⎢x⎥⎣n⎦定义1(稳定与一致稳定)对于任意给定的实数ε>0，都

7、对应存在实数δ(ε,t0)>0，使满足x(t0)−xe≤δ(ε,t0)的任意初始状态x(t)=x出发的受扰运动都满足00φ(t,x,t)−x≤ε,∀t≥t00e0成立，则称xe=0为Lyapunov意义稳定的。若δ(ε,t0)=δ(ε)，称平衡点xe是一致稳定的。第4章系统的运动稳定性稳定一致稳定14定常系统：稳定等价于一致稳定第4章系统的运动稳定性定义2(渐近稳定与一致渐近稳定)平衡状态称为是渐