哈工大现代控制理论复习题

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1、《现代控制理论》复习题1一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打V,反之打X。(V)1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。(X)2.若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也•一定是能控的。(X)3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。(V)4.对系统义=儿1,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和矩陈A的特征值都具有负实部是一致的。v+3二、(15分)考虑由下式确定的系统：G(5)=试求其状态空间实现s+35+2的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画

2、出能控标准型的状态变:图。解：能控标准形为能观测标准形为3u1对角鉍准形为y=[21+U1三、(10分)在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统0x-3X=-2求其状态转移矩阵。解：解法1。容易得到系统状态矩阵A的两个特征值是人=-1，A,=-2,它们是不相同的，故系统的矩阵A可以对角化。矩阵A对应于特征值A,=-1，A2=-2的特征向量是取变换矩阵T=[v{v2]21-1-111-1-2因此，D=TAT-1-100-2从而，At0_T_P1"0■"21"_0e'_—1-2or2/_-1-1-/-2t-/-2t解法2。拉普拉斯方法由于

3、(si-A)-1=2e•—e•’e-e-2e—，+2e~2t-e~f+2e~2t5-125+3■■5+3(S+1)(5+2)-2(5*+1)(5+2)(S+1)(5+2)^(t)=eAt=L-[[(si-Ay}]5(5+3)+2-2s■21115+15+25+15+2-22-12++■■_s+15+2S+15*+2-2e'f-e~2te~r-e_2t-*2e~f+2e~2t—e~f+2e~2tdet(5/-A)1(5+1)(5+2)S.9+31解法3。凯莱-哈密尔顿方法将状态转移矩阵写成系统矩阵的特征值是-1和-2,故解以上线性方程组，可得a0(t)-a^t)e~2

4、1=a0(t)-2a{(t)6/0(z)=2e^-ea(0=et~e—2r因此，^(t)=eAl=aQ(t)I^a,(t)Ale.-e一e-e2e~l4-2e~2t-e~l4-2e~2t-/-it-2r四、（15分）己知对象的状态空间模型价/，＞，=Cx，是完全能观的，请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。解观测器设计的框阁:观测器方程：x=Ax+Bw+L(y-Cx)=(A-LC)x+Bu+Ly其中：7是观测器的维状态，L是一个维的待定观测器增益矩阵。观测器设计方法：由于det[/l/-(A-LC)]=det[2/-(A-LC)T]=det

5、[A/-(Ar-CTLT)]因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L，使得具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法。五、(15分)对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。解连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：线性时不变系统乂=>^在平衡点&=0处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵李雅普诺夫矩阵方程AtP+PA=-Q有惟一的对称正定解尸。在具体W题分析巾，可以选取0=/。考虑二阶线性吋不变系统：X，=°1h」L-i-iJUJ原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩

6、阵方程AtP-^-PA=-I其中的未知对称矩阵p=1112_A2P22.将矩阵A和P的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得'0-1"AiPn+AiP2J-1°1_1-1_Pl2P22.I_Pl2P22_h-Jh-J进一步可得联立方程组-2Pl2=-1P.1-^I2-P22=O2^12_2夕22=_1从上式解山Pn、Pl2和P22,从而可得矩阵PllA2I「3/21/2'P=Pn7^22j=

7、_l/21根据塞尔维斯特力*法，可得A，

8、>0A2=detP+0故矩阵P是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的六、（10分）已知被控系统的传递函数是C（5）10(

9、5+1)(5+2)试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1士j解系统的状态空间模型是010X=_-2-3_x+1y=[100]xU将控制器U=-[k,k,]x代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程该闭环系统的特征方程是det（A/-）=A2+（3+勾）2+（2+么）期望的W环特征方程是(乂+1—y)(A+1+j)=A一+2A+2通过/I2+(3+071+(2+々())=/I2+2/1+2可得3+6=22+众0=2从上式可解出因此，要没计的极点配置状态反馈控制器是《现代控制理论》复习题2一、(10分，每小题2分)试判断以下结论的正确性，若结论