现代控制理论(2).pdf

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1、第2章控制系统的状态方程求解主讲孙韬本章基本要求1.理解线性定常连续系统非齐次状态方程的解的组成2.理解状态转移矩阵的含义并掌握其求取方法3.熟练掌握线性定常连续系统非齐次状态方程求解的几种常用方法4.了解线性连续系统的离散化方法5.了解离散系统状态方程的求解方法概述控制系统的分析包括动态分析与静态分析两部分,由于控制系统的数学模型是微分方程,所以,微分方程的解就包含了所有的系统的信息。其稳态部分对应系统的静态性能,暂态部分对应了系统的动态性能。由此可见,只要能够求解出系统的状态方程和输出方程,系统的性能分析与经典控制部分基本上完

2、全一样,因此,本章主要介绍状态方程的求解方法.本章主要内容线性定常控制系统的分析线性离散系统的状态空间表达式连续系统的离散化线性离散系统的状态方程的解本章小结与习题线性定常控制系统的分析线性定常系统的求解状态转移矩阵的求法求解举例线性定常控制系统的解齐次状态方程的解（自由解）与齐次微分方程相类似，齐次状态方程是指输入函数u(t)=0的情况。设初始时刻t=0,初始状态为x(0),则齐次状态0方程为：x(t)Ax(t)求拉氏变换得：sX(s)x(0)AX(s)1(sIA)X(s)x(0)X(s)(sI

3、A)x(0)11x(t)L[(sIA)]x(0)线性定常控制系统的解齐次状态方程的解1(sIA)求法：2111aa因为()sa23()sasss2at(at)e1at2!2所以(sIA)1IAA232sssAt(At)eIAt2!2线性定常控制系统的解1IAA(sIA)23sss齐次状态方程的解11x(t)L[(sIA)]x(0)2IAA2L1[At]x(0)(At)2e3IAtsss2!21I1A1A{L[]L

4、[]L[]}x(0)23sss2(At){IAt}x(0)2!Atex(0)线性定常控制系统的解齐次状态方程的解设初始时刻t≠0,初始状态为x(t),则齐次状态00方程的解为：11x(t)L[(sIA)]x(t)021I1A1A{L[]L[]L[]}x(t)230ss2s2A(tt)0{IA(tt)}x(t)002!A(tt0)ex(t)0线性定常控制系统的解状态转移矩阵（矩阵指数函数）由上面的解的表达式可见：齐次状态方程的解实质上是初始状态x(0)或者x(t)到任意t

5、时刻的状态的一种向量变换关系，其转0移特性由如下指数函数确定。从时间的角度而言，这意味着它使状态向量随着时间的推移，不断的在状态空间中作转移，因此也将eAt称之为状态转移矩阵。AtA(tt0)ee状态转移矩阵令：(t)eAt(tt)eA(tt0)0At则：x(t)ex(0)(t)x(0)A(tt0)x(t)ex(t)(tt)x(t)000线性定常控制系统的解状态转移矩阵（矩阵指数函数）由上面可以看出，利用状态转移矩阵，可以从任意指定的初始时刻的状态向量x(t)，求得任意t时刻的状态向量x(t)。换言之

6、，0矩阵微分方程的解，在时间上任意分段求取，这是动态系统用状态空间表示法的又一优点。然而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，在求解时，对初始条件的处理是很麻烦的，一般都假设初始条件为零，即从零初始条件出发，去计算系统的输出响应。线性定常控制系统的解状态转移矩阵（1）状态转移矩阵的定义：对于线性定常系统，当初始时刻为t时，满0足以下矩阵微分方程的和初始条件：(tt)A(tt)00(0)I的解(t)，即定义为系统的状态转移矩阵。因为当状态方程满足解的存在和唯一性条件时，(t)是上述方程的唯一解。当A是

7、n×n阵时，状态转移矩阵也为n×n阵。线性定常控制系统的解状态转移矩阵（2）状态转移矩阵的性质：性质1(0)I性质2(t)A(t)(t)A01性质3(tt)(tt)00(tt)是非奇异矩阵，其逆矩阵存在且为0性质4(tt)(t)(t)(t)(t)121221k性质5[(t)](kt)(k为整数)线性定常控制系统的解状态转移矩阵（2）状态转移矩阵的性质：性质6(tt)(tt)(tt)211020性质7对于n×n矩阵A和B,如果满足ABBA则：(AB)tAtBt

8、eee(AB)tAtBt注意：如果ABBA则eee性质8x(t)Ax(t)(t)eAt~xPx~~~~1Atx(t)Ax(t)(t)PeP线性定常控制系统的解非齐次状态方程的解当系统有输入信号作用时，描述