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时间:2020-03-27
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1、第2章控制系统的状态方程求解主讲孙韬本章基本要求1.理解线性定常连续系统非齐次状态方程的解的组成2.理解状态转移矩阵的含义并掌握其求取方法3.熟练掌握线性定常连续系统非齐次状态方程求解的几种常用方法4.了解线性连续系统的离散化方法5.了解离散系统状态方程的求解方法概述控制系统的分析包括动态分析与静态分析两部分,由于控制系统的数学模型是微分方程,所以,微分方程的解就包含了所有的系统的信息。其稳态部分对应系统的静态性能,暂态部分对应了系统的动态性能。由此可见,只要能够求解出系统的状态方程和输出方程,系统的性能分析与经典控制部分基本上完
2、全一样,因此,本章主要介绍状态方程的求解方法.本章主要内容线性定常控制系统的分析线性离散系统的状态空间表达式连续系统的离散化线性离散系统的状态方程的解本章小结与习题线性定常控制系统的分析线性定常系统的求解状态转移矩阵的求法求解举例线性定常控制系统的解齐次状态方程的解(自由解)与齐次微分方程相类似,齐次状态方程是指输入函数u(t)=0的情况。设初始时刻t=0,初始状态为x(0),则齐次状态0方程为:x(t)Ax(t)求拉氏变换得:sX(s)x(0)AX(s)1(sIA)X(s)x(0)X(s)(sI
3、A)x(0)11x(t)L[(sIA)]x(0)线性定常控制系统的解齐次状态方程的解1(sIA)求法:2111aa因为()sa23()sasss2at(at)e1at2!2所以(sIA)1IAA232sssAt(At)eIAt2!2线性定常控制系统的解1IAA(sIA)23sss齐次状态方程的解11x(t)L[(sIA)]x(0)2IAA2L1[At]x(0)(At)2e3IAtsss2!21I1A1A{L[]L
4、[]L[]}x(0)23sss2(At){IAt}x(0)2!Atex(0)线性定常控制系统的解齐次状态方程的解设初始时刻t≠0,初始状态为x(t),则齐次状态00方程的解为:11x(t)L[(sIA)]x(t)021I1A1A{L[]L[]L[]}x(t)230ss2s2A(tt)0{IA(tt)}x(t)002!A(tt0)ex(t)0线性定常控制系统的解状态转移矩阵(矩阵指数函数)由上面的解的表达式可见:齐次状态方程的解实质上是初始状态x(0)或者x(t)到任意t
5、时刻的状态的一种向量变换关系,其转0移特性由如下指数函数确定。从时间的角度而言,这意味着它使状态向量随着时间的推移,不断的在状态空间中作转移,因此也将eAt称之为状态转移矩阵。AtA(tt0)ee状态转移矩阵令:(t)eAt(tt)eA(tt0)0At则:x(t)ex(0)(t)x(0)A(tt0)x(t)ex(t)(tt)x(t)000线性定常控制系统的解状态转移矩阵(矩阵指数函数)由上面可以看出,利用状态转移矩阵,可以从任意指定的初始时刻的状态向量x(t),求得任意t时刻的状态向量x(t)。换言之
6、,0矩阵微分方程的解,在时间上任意分段求取,这是动态系统用状态空间表示法的又一优点。然而在经典控制理论中,用高阶微分方程描述的系统,在求解时,对初始条件的处理是很麻烦的,一般都假设初始条件为零,即从零初始条件出发,去计算系统的输出响应。线性定常控制系统的解状态转移矩阵(1)状态转移矩阵的定义:对于线性定常系统,当初始时刻为t时,满0足以下矩阵微分方程的和初始条件:(tt)A(tt)00(0)I的解(t),即定义为系统的状态转移矩阵。因为当状态方程满足解的存在和唯一性条件时,(t)是上述方程的唯一解。当A是
7、n×n阵时,状态转移矩阵也为n×n阵。线性定常控制系统的解状态转移矩阵(2)状态转移矩阵的性质:性质1(0)I性质2(t)A(t)(t)A01性质3(tt)(tt)00(tt)是非奇异矩阵,其逆矩阵存在且为0性质4(tt)(t)(t)(t)(t)121221k性质5[(t)](kt)(k为整数)线性定常控制系统的解状态转移矩阵(2)状态转移矩阵的性质:性质6(tt)(tt)(tt)211020性质7对于n×n矩阵A和B,如果满足ABBA则:(AB)tAtBt
8、eee(AB)tAtBt注意:如果ABBA则eee性质8x(t)Ax(t)(t)eAt~xPx~~~~1Atx(t)Ax(t)(t)PeP线性定常控制系统的解非齐次状态方程的解当系统有输入信号作用时,描述
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