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1、一、问题的提出二、微分方程的定义三、主要问题—求方程的解四、小结思考题第一节微分方程的基本概念引言对自然界的深刻研究－－－－傅里叶微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到所研究的变量之间的函数关系,却比较容易建立起这些变量与它们的导数或微分之间的联系,从而得到一个方程,即微分方程.通过求解这种方程,同样可以找到指定未知量之间的函数关系.因此,微分方程是数学联系实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科关于未知函数的导数或微分的是数学最富饶的源泉.进行科学研究的强有力的工具.如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、了解和知晓现实世界的工具”,那么微分
2、方程就是显示数学的这种威力和价值的一种体现.现实世界中的许多实际问题都可以抽象为微分方程问题.例如,物体的冷却、琴弦的振动、电磁波的传播等,都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.微分方程是一门独立的数学学科,有完整的理论体系.本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程解的理论.几解一、引例由题有且满足：解代入条件后知故开始制动到列车完全停住共需微分方程:凡含有未知函数的导数或微分的方程，叫做微分方程.例实质:联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.二、基本概念分类1:常微分方程,偏微
3、分方程.我们把未知函数为一元函数的微分方程称为常微分方程.类似地,未知函数为多元函数的微分方程称为偏微分方程.例如方程是偏微分方程.微分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数.一阶微分方程高阶微分方程分类2:常微分方程的一般形式是:其中为自变量,是未知函数,在方程中,必须出现,而其余变量可以不出现,微分方程中,其余变量都没有出现.能从方程中就得到微分方程例如在阶如果解出最高阶导数,以后我们讨论的微分方程主要是形如的微分方程,并且假设式右端的函数在所讨论的范围内连续.分类3:非线性微分方程.线性微分方程.如果方程可表示为如下形式:则称方程为阶线性微分方程.其中和
4、知函数.全是一次幂。否则统称为非线性微分方程.均为自变量的已即微分方程中所含的未知函数及其各阶导数分类4:单个微分方程与微分方程组.例3试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.解(1)是一阶线性微分方程,因方程中含有的和都是一次.(2)是一阶非线性微分方程,因方程中含有的的平方项.例3试指出下列方程是什么方程,并指出微分方程的阶数.解(3)是二阶非线性微分方程,因方程中含有的的三次方.(4)是二阶非线性微分方程,因方程中含有非线性函数和微分方程的解:代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.微分方程的解的分类：三、求方程的解(1)通解:微分方程的解中含有相互独立的任意常
5、数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.满足(2)特解:确定了通解中任意常数以后的解.解的图像:微分方程的积分曲线.通解的图像:积分曲线族.初始条件:用来确定任意常数的条件.过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.解：将达所求特解为微分方程；微分方程的阶；微分方程的解；通解;初始条件；特解；初值问题；积分曲线．四、小结本节基本概念：思考题思考题解答中不含任意常数,故为微分方程的特解.练习题练习题答案
