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1、第十章微分方程1微分方程第十章—积分问题—微分方程问题推广2引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:①(C为任意常数)由②得C=1,因此所求曲线方程为②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.一、引例3引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,由已知得由前一式两次积分,可得利用后两式可得因此所求运动规律为说明:利用这一规律可求出制动后多少时间列车才能停住,以及制动后行驶了多少路程.即求s=s(t).41.微分方程：含未知函数及其导数的方
2、程叫做微分方程.二、微分方程的基本概念实质：联系自变量，未知函数及其导数的式子.区别：与以往学习的代数方程的区别是：代数方程是含未知数的等式，微分方程是含未知函数及其导数的等式.常微分方程：所含未知函数是一元函数.偏微分方程注：本章只讨论常微分方程分类2.微分方程的阶：方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程的阶.5三、微分方程的主要问题-----求方程的解—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程的阶数相同.特解1.微分方程的解—通解中的任意常数被确定后的解.引例2引例1通解:特解:6—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(
3、或初值条件):2.定解条件过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的解的问题.73.解的几何意义解:积分曲线.特解:微分方程的一条积分曲线.通解:积分曲线族.引例2引例1通解:特解:8例1.验证函数是微分方程的解,的特解.解:这说明是方程的解.是两个独立的任意常数,利用初始条件易得:故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始条件9第二节一阶微分方程1.可分离变量的微分方程两边积分,得10(2)解法：为微分方程的解.这种解法叫分离变量法1.分离变量:2.两边积分分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端
4、积分-------隐式通解.11例1.求微分方程的通解.解:分离变量得两边积分得即(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)12注意:例2.解初值问题解:分离变量得两边积分得即由初始条件得C=1,(C为任意常数)故所求特解为13求所满足的微分方程.例3.已知曲线上点P(x,y)处的法线与x轴交点为Q解:如图所示,设所求曲线的方程为y=f(x).令Y=0,得Q点的横坐标即则点P(x,y)处的法线方程为且线段PQ被y轴平分,14练习:解法1分离变量即(C<0)解法2故有两边积分(C为任意常数)所求
5、通解:两边积分得152.齐次微分方程(1)定义：形如的方程叫做齐次方程.(2)解法:-----变量代换法令代入原方程得：即则即求此可分离变量方程的解，并回代16例1求解微分方程故微分方程的解为解原方程可变为：即则即17例1求解微分方程微分方程的解为另解原方程可变为：即即则即18例2.解微分方程解:则有分离变量积分得代回原变量得通解即说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.19例3求解微分方程解则于是即分离变量得积分得将代入上面式子得：注意：的方程可用将其化为可分离变量的方程.代换，形如20例4已知曲线积分与路径无关,
6、其中求由确定的隐函数解:因积分与路径无关,故有即因此有21内容小结1.微分方程的概念微分方程;定解条件;2.可分离变量方程的求解方法:说明:通解不一定是方程的全部解.有解后者是通解,但不包含前一个解.例如,方程解;阶;通解;特解y=–x及y=C分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-------隐式通解.22的微分方程解法：作变量代换3.齐次方程23备用题备用题解答：如图xyo24xyo两边同时对求导积分得:所以所求曲线为:25思考题解两边同时对求导26
