微分方程的基本概念课件.ppt

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1、一、问题的引入二、微分方程的定义与分类三、微分方程的解与初值问题第一节微分方程的基本概念华南理工大学数学科学学院杨立洪博士一、问题的引入引例1已知一条曲线通过原点，且在该曲线上任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，求该曲线方程。解该所求曲线为，根据导数的几何意义及本题所设，可知未知函数满足（特点：方程中含有未知函数的一阶导数）下面求未知函数：将初始条件代入上式，得：由此得，故所求曲线方程为.（特点：方程中含有未知函数的二阶导数）引例2列车在一段笔直的铁路上以20米／秒的速度行驶，当制动时列车获得加速度－0.4米／秒2，问开始制动后经多少时间列车才能完全停住？并求列车在这段时

2、间内行驶的路程？解设列车开始制动秒后行驶米，即，根据题设，应有关系式：将初始条件代入，得令，得到列车从开始制动到完全停住，共需将（秒）代入中，求得列车在这段时间行驶的路程二、微分方程的定义与分类实质：联系自变量，未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式。定义1：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫做微分方程。例，都是微分方程。共性：两个引例得出的式子均含有未知函数的导数。也都是微分方程。又例注：本章我们只讨论常微分方程的求解。定义2：未知函数是一元函数的微分方程叫做常微分方程；未知函数是多元函数的微分方程叫做偏微分方程；分类I：常微分方程、偏微分方程例是常微分方程；是

3、偏微分方程。分类Ⅱ：一阶微分方程、高阶（n阶）微分方程定义3：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数叫做微分方程的阶。一阶微分方程：高阶（n阶）微分方程：例是一阶微分方程；是二阶微分方程。分类Ⅲ：线性与非线性微分方程是一阶线性微分方程；是二阶线性微分方程；（特点：除外，其他各项关于均为一次。）是非线性微分方程。三、微分方程的解与初值问题确切地说，对于给定的微分方程定义4：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之为微分方程的解。1．微分方程的解如果函数在区间I上有n阶连续导数，且满足微分方程那么称函数是微分方程在区间I上的解。特解的图象：微分方程的积分曲线。（2）特解：确定了

4、通解中任意常数以后的微分方程的解。（1）通解：包含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同的微分方程的解。微分方程的解分为：例微分方程其通解为例微分方程其通解为通解的图象：微分方程的积分曲线族。即：求过定点且在定点的切线斜率为定值的积分曲线。即：求过定点的积分曲线；初始条件：用来确定通解中任意常数的特定条件。2．初值问题一阶：二阶：初值问题：求微分方程满足初始条件的解的问题。四、例题解的解，并求满足初始条件，的特解。例1验证函数是微分方程将和的表达式代入原方程，有：故是原方程的解。故所求特解为。补充:微分方程的初等解法:初等积分法.求解微分方程求积分证明例2验证所确定的

5、函数是微分方程的解。再对求导，得因此，是所给微分方程的解。故所求方程为消去C，得解：例3求积分曲线族（C是任意常数）所满足的微分方程。积分曲线族两边求导数，得五、小结（1）微分方程；微分方程的阶；1、本节学习内容（2）微分方程的解：通解；特解；初始条件；初值问题；积分曲线。本节重点在于理解常微分方程的解的概念。已知微分方程的通解，求通解所满足的微分方程，解决此类问题的关键是消去任意常数，求得自变量、函数以及函数的各阶导数之间的关系式。求微分方程涉及到积分运算，所以通解中包括一组任意常数，这说明微分方程有无穷多解。在一般情况下，在附加一组初始条件之后，从微分方程的通解中可求得一个

6、确定的解，即特解，也即初值问题的解。2、重点3、难点六、练习题练习题1、设曲线上点处的法线与X轴交点为Q，且线段PQ被Y轴平分，试写出该曲线所满足的微分方程。练习题2、已知函数，其中，为任意常数，试求函数所满足的微分方程。因Y轴平分PQ，故P、Q两点的横坐标为相反值。于是得课堂练习题解答：1.解设所求曲线方程为，则该曲线在点处的法线方程为：为所求方程。消去任意常数，可得所求微分方程为：将函数分别求一阶、二阶导数，得2.解：七、自测题一、填空题是________阶微分方程1、2、一个二阶微分方程的通解应含有________个任意常数。3、函数是微分方程解。的_____二、验证所给

7、函数是所给微分方程的解：三、确定函数关系式中的任意参数，使其满足初始条件自测题解答一、1.二阶；2.二个；3.特解；二、略三、解将代入初始条件，有∴与