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1、安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.1微分方程的基本概念Basicconceptofdifferentialequations三、微分方程的解一、问题的提出二、微分方程的定义微积分电子教案引例一曲线通过点(1,2),且在该曲线上的任一点M(x,y)处的切线的斜率为2x,求该曲线的方程。解：设所求曲线方程为：y=f(x)两边对x求积分：即y=x2+C将x=1,y=2代入，得：2=1+C即C=1故所求曲线为：y=x2+1一、问题的提出由题意得：定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程。2.1、微分方程二、微分方程
2、的定义定义1含有未知函数的导数(或微分)的方程。如：2.1、微分方程二、微分方程的定义未知函数是多元函数，即含有偏导数的微分方程，称为偏微分方程未知函数是一元函数的微分方程常微分方程定义2微分方程中所出现的未知函数导数的最高阶数，称为微分方程的阶。二阶微分方程n阶微分方程的一般形式为：F(x，y，y，y，…，y(n))=0一阶微分方程二、微分方程的定义2.2、微分方程的阶二、微分方程的定义2.3、微分方程的分类分类1:常微分方程,偏微分方程.一阶微分方程高阶(n)微分方程分类2:分类3:线性(未知函数及其导数都是一次)非线性微分方程分类4:单个微分方程与
3、微分方程组.定义3若将某函数及其导数代入微分方程,可使方程成为恒等式,则称此函数为微分方程的解三、微分方程的解3.1、微分方程的解三、微分方程的解例1验证下列函数都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程∴是原方程的解.代入原方程：∴是原方程的解.三、微分方程的解例1验证下列函数都是微分方程y－2y+y=0的解.解:代入原方程：∴是原方程的解.解的线性组合也是解y=0也是解。均为解，有何区别？⑴通解：微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解三、微分方
4、程的解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。例1中：——通解——特解——既非通解，也非特解，是个解。——奇解（但不是特解，不研究）通解：通用的解，含有任意常数；特解：特殊的解，不含有任意常数⑴通解：微分方程的解中含有任意常数，这些常数相互独立(即不能合并了)，且个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。3.2、通解与特解三、微分方程的解⑵特解：确定了通解中任意常数的解。特解可以从通解中通过某个条件求出常数得到特解称为定解条件，也称为初始条件一般地，n阶微分方程就有n个定解条件三、微分方程的解求特解步骤：先求通解，代入初始条件，确定通解中任意常数的值，可
5、得特解。微分方程微分方程的通解定解条件如引例求解得：微分方程的特解三、微分方程的解解的图像:微分方程的积分曲线.通解的图像:积分曲线族.3.3、微分方程解的几何意义过定点的积分曲线;一阶:二阶:过定点且在定点的切线的斜率为定值的积分曲线.初值问题:求微分方程满足初始条件的特解的问题.解例3验证:函数是微分方程的解.并求满足初始条件的特解.三、微分方程的解所求特解为练习：为微分方程的特解.三、微分方程的解函数是微分方程的解吗？如是解，请问是什么解?安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics§10.2一阶微分方程Basicco
6、nceptofdifferentialequations三、齐次方程一、一阶微分方程的形式四、一阶线性微分方程微积分电子教案二、可分离变量的微分方程⑴一般形式:F(x,y,y)=0⑵正规型:⑶微分型:f(x,y)dx+g(x,y)dy=0正规型可化为如：下面只讨论一阶微分方程中最常见的几种类型及解法,包括：可分离变量的微分方程、齐次微分方程、线性齐次微分方程、线性非齐次微分方程。一、一阶微分方程的形式y=f(x,y)⑴形式：即变量x的函数和微分与变量y的函数和微分已分离在等式两边（或已分离开来）.⑵解法：直接积分。例1、求通解：解：两边积分故原方程的通解为
7、：2.1、已分离变量的微分方程二、可分离变量的微分方程例2求通解：解：两边积分得：二、可分离变量的微分方程故原方程的通解为：结论1:通解既可用显函数表示,也可用隐函数表示.⑴形式：二、可分离变量的微分方程2.2、可分离变量的微分方程⑵解法：先分离变量，再两边积分即可。或例3解微分方程解:先分离变量，二、可分离变量的微分方程再两边积分故原方程的通解为二、可分离变量的微分方程⑵若积分后出现对数,则可将任意常数写成lnC的形式,以利化简.说明:⑴在解微分方程时,对形如…积分,可直接得lnx,lny,…不必加绝对值；òdxx1òdyy1例3解题过程可简化为：先分离变量
8、：再两边积分解：二、可分离变量的微分方
