线性系统理论1数学基础.ppt

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1、线性系统理论主讲：韦文斌第一章数学基础1.1线性空间与线性变换1.1.1线性空间定义在集合上赋予一定的结构或一定的要求,这个集合就称为一个特定的空间。定义1.1.1线性空间定义（11页）：设V是一个非空集合,P是一个数域……则也是实数域R上的线性空间。因此不难看出，实数域上的线性空间的本质是指他们内部的运算具有线性性。例1.1.3设是线性空间，则不难验证是的子空间。它也称为由构成的子空间。例1.1.4设是线性空间是的子空间，也称是由所生成的子空间例1.1.5设是线性空间，显然，那么是的子空间，称为零子空间。中个元或称为中的个向量，则1.1.2线性空间的基和维数例1

2、.1.6在欧氏空间中选取个无关向量它们便构成的一组基。因此，也称为维欧氏空间。1.1.3线性变换例1.1.7记这里表示区间上一次可微函数的全体，表示区间上连续函数的全体。容易验证都是实数域上的线性空间。定义也不难验证是到的线性变换，有时也称为线性算子或微分算子。例1.1.8令则为上的线性变换，易知是的核空间，即显然，若向量构成的一组基，则由上述基的定义可知，对所有，均可以惟一表成我们称为关于基的坐标。若向量构成的另一组基，则有而对任意，有由此可知我们称为基和基之间的坐标变换。容易验证，坐标变换也是上的线性变换。1.2矩阵代数中的几个结果1.2.1矩阵必秩的

3、条件定义1.2.1矩阵列秩:矩阵中列向量的最大线性无关组的个数；行秩:矩阵中行向量的最大线性无关组的个数。矩阵的行秩与列秩相等。矩阵A的行秩和列秩称为矩阵A的秩。1.2.2Vendermonde矩阵与友矩阵⑴Vendermonde矩阵及基性质⑵友矩阵及其性质1.2.3Cayley-Hamilton定理与化零多项式1.2.4豫解矩阵与Leverrier算法1.3多项式矩阵1.3.1基本概念1.3.2初等变换多项式的初等行(列)变换,是指下列三种典型操作:①矩阵的两行(或两列)互换位置;②矩阵的某一行(或某一列)乘以非零的常数C;③矩阵的某一行(或某一列)加上另一行(

4、或列)的Φ(s)倍,Φ(s)为一个多项式。1.3.3Smith标准型定义1.3.3如果可以用一系列初选变换将多项式方阵A(s)化为多项式矩阵B(s),则称多项式A(s)和B(s)互相等价。等价是多项式矩阵之间的一种关系，有下述三个性质：①反身性，每一个多项式矩阵均与自身等价；②对称性，A(s)等价B(s)，B(s)等价A(s)；③传递性，A(s)等价B(s)，B(s)等价C(s)，A(s)等价C(s)。1.4有理分式矩阵及其互质分解1.4.1互质多项式矩阵1.4.2有理分式矩阵的互质分解1.4.31.5Jordan分解1.5.1特征值的几何重数与代数重数矩阵某特征

5、值的几何重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关联的Jordan块的个数.矩阵某特征值的代数重数:矩阵的Jordan标准型与该特征值相关所有的Jordan块的阶数之和.1.5.2广义特征向量链我们可对应地将特征向量矩阵V按列做如下分块1.5.3Jordan分解的求取1.6广义Sylvester矩阵1.6.1求解问题与假设条件1.6.2完全解析解之一1.6.3完全解析解之二例1.6.1设则由算法1.4.1易得从而由定理1.6.2易得，以该组矩阵构成的广义sylvester矩阵方程的完全解析通解为如果特别取可得该方程的一组特解为