线性代数第五章第二节矩阵的相似与矩阵的对角化.ppt

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1、第五章第二节矩阵的相似与对角化相似矩阵的定义及性质定义设都是阶矩阵，若存在可逆矩阵，使得则称矩阵是矩阵的相似矩阵，对进行运算称为对进行相似变换，可逆矩阵称为把矩阵变成矩阵的相似变换矩阵。性质1矩阵的相似关系是一种等价关系或称矩阵与矩阵相似，记作A~B（1）反身性：（2）对称性：若（3）传递性：A~AA~B则B~A若A~B,B~C,则A~C性质2:相似矩阵有相同的特征多项式、相同的特征值、相同的行列式、相同的迹、相同的秩P可逆推论：若矩阵与对角阵相似，则是的个特征值。性质3性质2、3的逆均不真利用对角矩阵计算矩阵的幂和矩阵多项式k个我们将A化为与之相似的对角形矩阵，它的高次幂就

2、容易表出利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式.证明用相似变换将方阵对角化定理得证.注意：如果阶矩阵有个不同的特征值，则可对角化（与对角阵相似）．推论如果的特征方程有重根，此时不一定有个线性无关的特征向量，从而矩阵不一定能对角化，但如果能找到个线性无关的特征向量，就能对角化．定理2方阵A的不同特征值所对应的特征向量是线性无关的.证明设λ1,λ2,…,λm是A的m个不同的特征值,α1,α2,…,αm依次是与之对应的特征向量,现要证α1,α2,…,αm线性无关.观察方程组x1α1+x2α2+…+xmαm=0.等式两边左乘A:A(x1α1+x2α2+…+xmαm)=A0即λ1x

3、1α1+λ2x2α2+…+λmxmαm=0.x1a1+x2a2+…+xmam=0.即l1x1a1+l2x2a2+…+lmxmam=0.一次次地左乘A,得把上面m个等式合写成矩阵形式,即上式左端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式,由于li各不相同,故此行列式不等于零,因而此矩阵可逆.在此等式两边右乘此矩阵的逆矩阵,有(x1a1,x2a2,…,xmam)=(0,0,…,0),即xjaj=0j=1,…,m.由于aj0,故xj=0所以向量组a1,a2,…,am线性无关例1设矩阵求:(1)与A相似的对角矩阵；(2)相似变换矩阵P；(3)A100.因为，解所以A有两个特征值当时,解方程组

4、得基础解系当时,解方程组得基础解系.(1)显然，A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵相似.(2)以作为列向量,得矩阵Λ不唯一，排列顺序可以不同因为，则(3)依此类推,得知又由例2已知矩阵(1)求x与y;(2)求一个满足的可逆矩阵P.（考虑从着手求参数）有时可以从迹相等入手即由上式得解因A与B相似，故比较等式两边λ的系数，得x=0y=1此时(2)由B知A的特征值为2,1,,且分别可求得A的特征向量以为列向量作矩阵则P可逆,且.由特征值、特征向量反求矩阵例3：已知方阵的特征值是相应的特征向量是求矩阵解：因为特征向量是3维向量，所以矩阵是3阶方阵。因为有3个不同的特征值，所

5、以可以对角化。即存在可逆矩阵,使得其中求得因为复根必成对共轭出现,故l1与l2不可能是复的,故l1与l2为实根,由l1l2<0,知l1l2.于是由定理1推论知:二阶矩阵有二个单根,则必可对角化.例4设二阶矩阵A,

6、A

7、<0,证明:A必可对角化.证明

8、A

9、=λ1λ2<0.定理4方阵A的k重特征值λ0所对应的特征向量至多有k个.定理5方阵A可对角化的充要条件是:A的ki重特征值λi恰好有ki个线性无关的特征向量.推论方阵A可对角化的充要条件是:A的ki重特征值λi矩阵λiE-A的秩恰好是n-ki.1、两矩阵等价必相似吗?反之呢?2、若n阶矩阵A,B相似,则相似吗?思考题2、相似

10、,因为A,B相似,故有满秩矩阵P,使,而思考题解答1、两矩阵等价,不一定相似.反之,如果两矩阵相似,一定等价.课后思考题思考题解答