概率论 数理统计第11讲(张) [兼容模式].pdf

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1、§3.4随机向量的函数的分布设(X,Y)是二维随机变量,z=(x,y)是一个已知的二元函数,如果当(X,Y)取值为(x,y)时,随机变量Z取值为z=(x,y),则Z称是二维随机变量的函数,记作Z=(X,Y)问题:已知(X,Y)的分布,求Z=(X,Y)的分布.一、离散型随机向量函数的分布例1设随机变量(X,Y)的分布律为Y210X113112121212102121222301212求(1)XY,(2)XY的分布律.解Y210X1131121212121等价于02121222301212113

2、2122概率1212121212121211(X,Y)(1,2)(1,1)(1,0),2,1(3,2)(3,0)221132122概率1212121212121211(X,Y)(1,2)(1,1)(1,0),2,1(3,2)(3,0)2231XY321132253XY1015322所以XY,XY的分布律分别为31XY32113221132122P1212121212121253XY015322142122

3、P121212121212例2设两个独立的随机变量X与Y的分布律为X13Y24PX0.30.7PY0.60.4求随机变量Z=X+Y的分布律.解因为X与Y相互独立,所以P(Xx,Yy)P(Xx)P(Yy)ijijYX24得10.180.1230.420.28YP(X,Y)ZXYX2410.180.120.18(1,2)3可得0.1230.420.28(1,4)50.42(3,2)50.28(3,4)7ZXY357所以P0.180.540.28例3已知X,Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为P{X

4、k}p(k),k0,1,2,P{Ym}q(m),m0,1,2,求随机变量ZXY的分布律.解Z=X+Y的所有可能的取值是0,1,2,…,P{Zn}P{XYn}P{Zn}P{XYn}nP{Xk,Ynk}k0nP{Xk,Ynk}X,Y相互独立k0nP{Xk}P{Ynk}k0np(k)q(nk),n0,1,2,...k0nP{Zn}p(k)q(nk),n0,1,2,...k0例4设X,Y是相互独立的随机变量，X~()

5、,1Y~(),则XY~().212k证明P(Xk)e11,k0,1,2,k!m22P(Ym)e,m0,1,2,m!由前面的例题可知nP(XYn)P(Xk)P(Ynk),k0n0,1,2,...nknkP(XYn)e11e22k0k!(nk)!nknke(12)12k0k!(nk)!n(12)1n!knke12n!k0k!(nk)!e(12)1()n,n0,1,2,...

6、12n!XY~()12例5设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p),求Z=X+Y的分布.我们可以按照前面的方法来求解，也可以换一种方法.回忆第二章对服从二项分布的随机变量所作的直观解释:若X~B(n1,p),则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率都为p.同样，Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数,每次试验中A出现的概率为p.故Z=X+Y是在n1+n2次独立重复试验中事件A出现的次数.每次试验中A出现的概率为p.于是Z是以（n1+n2，p）为参数的二项随机

7、变量，即Z~B(n1+n2,p).（续）设全班有n个同学，在相同的条件下每个同学重复进行同一个试验.如果第i个同学做了m次试验，其中试验成功的次数是X.ii计算全班同学试验成功的总次数ZXXX12n的概率分布.解设每次试验成功的概率是p,全班同学一共进行了mmmm次独立重复试验.12n试验成功总次数Z~B(m,p).从问题的背景出发得到的结果更直接，更容易理解.更一般地，如果X服从二项分布B(m,p),iii1,2,,n.X,X,,X相互独立,则12nZ~B(mmm,p).12n二

8、、连续型随机变量函数的概率分布1.已知(X,Y)~f(x,y)，求Z=(X,Y)的概率分布.F(z)P{Zz}P{(X,Y)z}Zf(x,y)dxdy(x,y)z若Z为连续型随机变量,则在f(z)的连续点处f(z)F'(z)ZZ2例6已知X,Y相互独立,且均服从N(0,)22(0),求ZXY的概率密度.2解21xX~N(