概率论 数理统计第12讲(张) [兼容模式]

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1、第三章习题课1.已知X,Y的联合分布如下YX0100.4a1b0.1且事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立.试确定常数a与b.解0.4+a+b+0.1=1得a+b=0.5(1)事件{X=0}与{X+Y=1}相互独立,P{X=0}P{X+Y=1}=P{X=0,X+Y=1}=P{X=0,Y=1}得(0.4+b)(a+b)=b(2)由(1)(2)得a=0.1YX01b=0.400.4a1b0.12.已知(X,Y)的分布律为(X,Y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)1111pij691

2、83(1)求与应满足的条件;(2)若X与Y相互独立,求与的值.解将(X,Y)的分布律改写为Y123pP{Xx}Xii111116918311233pP{Yy}1112jj291832(1)由分布律的性质知0,0,1,3故与应满足的条件是:10,0且.3(2)因为X与Y相互独立,所以有P(Xi,Yj)P(Xi)P(Yj),i1,2;j1,2,3特别地，P(X1,Y2)P(X1)P(Y1)1112

3、,939911又,得.393.袋中装有1只白球，2只黑球，3只红球，从中随机地任取2只球，随机变量X与Y分别表示取到的红球数与白球数.（1）求X与Y的联合分布律；（2）求（X,Y）的边缘分布律；（3）求P(X1,Y1).X012pYj21122CCCCC0232352222CCCC6666C1C1C1C111112310C1C5C2C2266C62112CCCCpi33331222CCC6661只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球，X与Y分别表示取到的红球数与白球数.(3)P

4、(X1,Y1)1P(X2,Y0)2C312C6451只白球，2只黑球，3只红球，任取2只球，X与Y分别表示取到的红球数与白球数.4.设相互独立的两个随机变量X,Y具有同一概率分布，X01P0.50.5试求:Zmax(X,Y)的分布律.解因为X与Y相互独立,所以P{Xi,Yj}P{Xi}P{Yj}.Y01X220(12)(12)2(12)21(12)1P(max(X,Y)0)P(X0,Y0),22P(max(X,Y)1)P(X1,Y0)P(X0,Y1)P(X

5、1,Y1)111322222222Y01X22012122211212故Zmax(X,Y)的概率分布为Z0113P445.把一枚均匀硬币抛掷三次，设X为三次抛掷中正面出现的次数，而Y为正面出现次数与反面出现次数之差的绝对值，求(X,Y)的概率分布.解(X,Y)可取值(0,3),(1,1),(2,1),(3,3)P(X=0,Y=3)=(1/2)3=1/8P(X=1,Y=1)=3(1/2)3=3/8列表如下P(X=2,Y=1)=3/8P(X=3,Y=0)=1/8从表中不难求得:P(X=0)=1/8,P

6、(X=1)=3/8P(X=2)=3/8,P(X=3)=1/8,P(Y=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=2,Y=1)=3/8+3/8=6/8,P(Y=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=3,Y=3)=1/8+1/8=2/8.如下表所示6.以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记其中的男婴个数.设X和Y的联合分布律为14mnme(7.14)(6.86)P(Xn,Ym),m!(nm)!m0,1,2,,n;n0,1,2,.求边缘分布律.解P(Xn)P(Xn,Ym)mn14mnme(7.

7、14)(6.86)m0m!(nm)!n14mnme(7.14)(6.86)P(Xn)m0m!(nm)!14nen!mnm(7.14)(6.86)n!m0m!(nm)!14nemmnmCn(7.14)(6.86)n!m01414enen(7.146.86)(14),n!n!n0,1,2,.以X记某医院一天出生的婴儿个数，Y记其中的男婴个数.P(Ym)P(Xn,Ym)n14mnme(7.14)(6.86)nmm!(nm)!14n

8、mem(6.86)(7.14)m!nm(nm)!（令knm）14nmem(6.86)P(Ym)(7.14)m!nm(nm)!（令knm）14kem(6.86)(7.14)m!k0k!14em6.86(7.14)em!7.14em(7.14),m0,1,2,.m!7.设随机变量X和Y相互独立,并且2X服从N(a,σ),Y在(b,b)