概率论 数理统计第10讲(张) [兼容模式]new

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1、第3章随机向量及其独立性§3.3连续型随机向量及其联合密度一、联合概率密度2定义3.1设(X,Y)是随机向量,如果有R上2的非负可积函数f(x,y),使对R上的所有长方形子集D{(x,y)

2、axb,cyd}有P((X,Y)D)f(x,y)dxdyD则称(X,Y)是连续型随机变量,称f(x,y)是(X,Y)的联合概率密度,或联合密度.设(X,Y)是连续型随机向量,f(x,y)是(X,Y)的概率密度,yDoxD{(x,y)

3、axb,cyd}P((X,Y)D)f(x,y)dxdy.D按照上述定义，连续型随机变量有概率密度，没有概率密度的随机变量不是连

4、续型随机变量.联合概率密度的性质设f(x,y)是连续型随机向量(X,Y)的概率密度.(1)f(x,y)0.2(3)f(x,y)dxdyP((X,Y)R)1.R22(2)对R上的所有子区域B,有P((X,Y)B)f(x,y)dxdyB例1设二维随机变量(X,Y)具有概率密度4xy,0x1,0y1f(x,y)0,其它113y求P0X,Y.2423G2解：1D设D{(x,y)0x1,0y1}141113o21xG(x,y)0x,y2424xy,0x1,0y1f(x,y)0,其它113

5、P(0X,Y)P((X,Y)G)242f(x,y)dxdy4xydxdyy3GDGG21111221dx4xydy2xdx2ydyD0101144411115o21(1)x41664为了计算重积分方便，我们介绍下面的定理.定理3.1（Fubini定理）n设D是R的子区域,(x,x,,x)是D上的12n非负函数或满足(x,x,,x)dxdxdxD12n12n则对区域D上的n重积分(x,x,,x)dxdxdx12n12nD可以进行累次积分运算，且积分的次序可以交换.例2设随机向量(X,Y)具有联合密度

6、2xyke,x0,y0f(x,y)0,其它求(1)常数k;(2)P(YX);(3)P(XY1).解设D{(x,y)x0,y0}.f(x,y)dxdy1.设D{(x,y)x0,y0}.R2y2xy1kedxdy002xykedxedy00ox12xyke(e)2001kk1222xyke,x0,y0k2.f(x,y)0,其它(2)设G{(x,y)yx}yx1yP(YX)P((X,Y)G1)f(x,y)dxdyoxG1x2xy

7、2xy2edxdy(2eedy)dx00DG1xx2xy2xy(2eedy)dx0(2e(e)0)dx002xx2x3x(2e(1e))dx(2e2e)dx002x23x21(e)(e)103033(3)设G{(x,y)xy1}2yP{XY1}P{(X,Y)G}2xy12xyf(x,y)dxdy2edxdyoxG2DG211x11x2xy2xy(2eedy)dx(2eedy)dx000011x12xy2xx1(2

8、e(e)0)dx(2e(1e))dx0011(2e2x2ex1)dx2xx11(e)(2e)000221211e2e2e1e2e二、联合分布与联合密度连续型随机变量(X,Y)，其概率密度与分布函数的关系如下：yx(1)F(x,y)f(u,v)dudv.(2)若f(x,y)在(x,y)连续,则有2F(x,y)f(x,y).xy例3设随机向量(X,Y)具有联合密度xye,x0,y0f(x,y)0,其它求X,Y的分布函数F(x,y).解F(x,y)P{Xx,Yy}yxf(u

9、,v)dudvxye,x0,y0若x0,y0,f(x,y)0,其它则F(x,y)yxuvy00eedudv(x,y)xy(1e)(1e)ox若x0或y0,则F(x,y)0.xyxy1eee,x0,y0F(x,y)0,其它例4设(X,Y)是连续型随机向量，且已知其分布函数为xyxy1eee,x0,y0F(x,y)0,其它求(X,Y)的概率密度f(x,y).yox解当x0,y0时,