概率论与数理统计第11讲

《概率论与数理统计第11讲》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布1在实际应用中,有些随机现象需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述.例如,研究某地区学龄前儿童的发育情况时,就要同时抽查儿童的身高X,体重Y,这里,X和Y是定义在同一个样本空间S={某地区全部学龄前儿童}上的两个随机变量.在这种情况下,我们不但要研究多个随机变量各自的统计规律,而且还要研究它们之间的统计相依关系,因而还需考察它们联合取值的统计规律,即多维随机变量的分布.由于从二维推广到多维一般无实质性的困难,故我们重点讨论二维随机变量.2§3.1多维随机变量及其分布3一,二维随机变量定义1设随机试验的样本

2、空间为S,e∈S为样本点,而X=X(e),Y=Y(e)是定义在S上的两个随机变量,称(X,Y)为定义在S上的二维随机变量或二维随机向量.注:一般地,称n个随机变量的整体X=(X,X,…,X)为n维随机变量或n维随机12n向量.4二,二维随机变量的分布函数二维随机变量(X,Y)的性质不仅与X及Y有关,而且还依赖于这两个随机变量的相互关系,故需要将(X,Y)作为一个整体进行研究.与一维情况类似,我们也借助"分布函数"来研究二维随机变量.5定义2设(X,Y)是二维随机变量,对任意实数x,y,二元函数FxyPXx(,)=≤≤{()(Yy)}=≤≤PXxY

3、y{,}(1.1)称为二维随机变量(X,Y)的分布函数或称为随机变量X和Y的联合分布函数.6若将二维随机变量(X,Y)视为平面上随机点的坐标,则分布函数F(x,y)=P{X≤x,Y≤y}就是随机点(X,Y)落入区域{(t,s)

4、t≤x,s≤y}的概率.y(x,y)Ox7yy2y1Ox1x2x随机点(X,Y)落入矩形域{x

5、分布函数F(x)和F(y):XYF(x)=P{X≤x}=P{X≤x,Y<+∞}=F(x,+∞)X(1.3)F(y)=P{Y≤y}=P{X<+∞,Y≤y}=F(+∞,y)Y(1.4)分别称F(x)和F(y)为F(x,y)关于X和Y的边XY缘分布函数.9联合分布函数的性质:(1)0≤F(x,y)≤1,且(a)对任意固定的y,F(−∞,y)=0;(b)对任意固定的x,F(x,−∞)=0;(c)F(−∞,−∞)=0,F(+∞,+∞)=1.10(2)F(x,y)关于x和y均为单调非减函数,即(a)对任意固定的y,当x>x时,21F(x,y)≥F(x,y);2

6、1(b)对任意固定的x,当y>y时,21F(x,y)≥F(x,y).21(3)F(x,y)关于x和y均为右连续,即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0).11注:如对一维随机变量讨论一样,对于二维随机变量,我们也分离散型和连续型两种情况进行讨论.12三,二维离散型随机变量及其概率分布定义3若二维随机变量(X,Y)只取有限个或可数个值,则(X,Y)为二维离散型随机变量.结论(X,Y)为二维离散型随机变量当且仅当X,Y均为离散型随机变量.若二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为(x,y)i,j=1,2,…,则称ijP{X=

7、x,Y=y}=p(i,j=1,2,…)为二维离散型ijij随机变量的概率分布(分布律),或X与Y的联合概率分布(分布律).13易见,p满足下列性质:ij(1)p≥=0,,ij1,2,;ij(2)∑∑pij=1.ij与一维情形类似,有时也将联合概率分布用表格形式来表示,并称为联合概率分布表:14联合概率分布Y????????????????=????X????????????????????????????????????????????�??2??????????????????????????�????????

8、??(??=????)15注:对离散型随机变量而言,联合概率分布不仅比联合分布函数更加直观,而且能够更方便地确定(X,Y)取值于任何区域D上的概率,即PXY{(,)∈=D}∑pij(1.5)(,)xyDij∈特别地,由联合概率分布可以确定联合分布函数:Fxy(,)=PXxYy{≤≤=,}∑pij(1.6)xxyyij≤≤,16由X和Y的联合概率分布,可求出X,Y各自的概率分布:pi=PXx{=i}=∑piij,=1,2,(1.7)jpj=PYy{=j}=∑pij,j=1,2,(1.8)i分别称p(i=1,2,…)和p(j=1,2,…)

9、为(X,Y)i••j关于X和Y的边缘概率分布.注:p和p分别等于联合概率分布表的行i••j和与列和.17例1设随机变量X在