关于服从二维指数分布的非独立随机变量线性组合分布的修正.pdf

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1、2012年5月西安石油大学学报(自然科学版)Mav2012第27卷第3期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1．27No．3文章编号：1673-064X(2012)03-0102-04关于服从二维指数分布的非独立随机变量线性组合分布的修正张丽丽，马晓丽(西安工业大学数学系，陕西西安710032)摘要：通过建立二维随机变量(，Y)的线性组合+I，的概率密度函数的推导公式，给出了在可靠性工程中应用最广泛的二维指数分布的线性组合的概率分布．关

2、键词：二维指数分布；二维随机变量；线性组合中图分类号：0211文献标识码：A1引言)(可于一维随L，艾萤，Y，+明分征质重上崔布口口J霏性工程中重大蒽义．文l2J考虑J，当(X，Y)服从联合生存概率分布F(x，Y)=exp{_A—A2y—A12max(，Y)}，与A。，A，A。2，，Y>0时，X与Y的线性组合+t3r的分布，所得结果如下：定理1如果X和l，服从联合生存概率分布，那么当>0，卢>0时，Z=+l，的概率密度函数为『[exp(一卜p(一⋯<∞；⋯，z=c【，、[exp(_)一p(一。<<∞．定理2

3、如果X和y服从联合生存概率分布，那么当<0，卢>0时Z=0+l，的概率密度函数为：』【黼。xpA2+A,2A，

4、的结论存在一个明显的问题，即z=+BY的密度函数表达式中出现了Y．本文通过建立二维随机变量(，y)的线性组合Z=aX+13Y~概率密度函数的推导公式，给出了服从联合生存概率分布的二维随机变量(，】，)的线性组合Z=+卢】，的概率密度函数表达式．2主要结果及其证明命题1设二维连续型随机变量(，Y)的联合概率密度函数为，Y)，则2=+flY的概率密度函数为)=亩如)1O／，)一∞<<+∞，其中O／≠0，≠0．证明分两种情况讨论：(1)当>0时，对任意的实数z，随机变量Z的分布函数F(z)=P(Z≤)=P

5、(aX十卢l，≤)：=Idxf，y)dy．令u：Y+，得F()=仁一)d=仁d厂(一．于是，随机变量Z的概率密度函数)=)=如)如．(2)当<0时，用与(1)同样的思路可得随机变量z的概率密度函数胁)㈤=一古，Z-卢0~，1亩，)由，Y的对称性()又可写为胁)=业dy．Ot，证毕．下面将利用命题1证明主要结果．服从联合生存概率分布的二维随机变量(，Y)的联合概率密度函数为fA1(A2+A12)exp[一Al一(A2+Al2)Y]，0<

6、<；A12exp[一(A1+A2+A12)Y]，0<戈=；Lo，其他．下面将给出服从联合生存概率分布的二维随机变量(，Y)的线性组合Z=+y的分布．在Z=0c+y中，常数，的取值可正可负，利用对称性，仅需考虑两种情况：>0，>0；<0，>0，且+>0．定理1如果二维随机变量(x，Y)服从联合生存概率分布，那么当Ot>0，>0时，z：+y的概率密度函数为rAJ2+AI2)一A1exp一)一exp(～—)]+()：jA2(A1+A12)exp一—f【A2一(A1+A12)老)一exp(一—)]，z>。；0．z≤

7、0．-——104-——西安石油大学学报(自然科学版)证明由命题1知(z)：Lf+~d，)d=吉A2+Al2)exp[_A1”A12)兰=1Jd+一卢一A—A古羼A2(A1+Al2)exp[_(Al2)_A2z--ax1Jdx+一¨1l(Azz)exp(一)唧+A一小+r__-■lr__-_L^—IAA(A+A：)expft(A1+A12)+z小A1(A2+Al2)A1(A2+A12)一A1一8’)j卜】A2(A1+A12)+A2+Alexp)】．A2一(A1+A12)Ot+显然，当z<0时()=0证毕．e—

8、定理2如果X和Y服从联合生存概，JI率II分布Al，一—那么当<0，卢>0，且0c+卢>0时，Z=am+l，的概率密度函数为+A2+Al2exp+)一exp(一三—去)]+A2(Al+A12)+A2+A12(z)=xp1，z≥0；卢(A1+A12)一A2Ot+JBA2(A1+A12)xp1／，<0(A1+Al2)一A2、证明由命题1可知，当≥0时，=3j-=~t，)d=}So，z-JBax，~d=吉-(A2+Al