一类二阶常微分方程的利普希茨控制问题研究.pdf

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1、2011年7月西安石油大学学报(自然科学版)Ju1．20l1第26卷第4期JournalofXianShiyouUniversity(NaturalScienceEdition)Vo1．26No．4文章编号：1673-064X(2011)04-0098-05一类二阶常微分方程的利普希茨控制问题研究黄小玉(广西机电职业技术学院公共教学部，广西南宁530007)摘要：研究了一类由二阶常微分方程所支配的具有状态约束的控制问题．通过状态方程的外部函数来实现系统的控制．在适当的假设条件下，证明了状态方程解的存在惟一性，并证明了当控制函数在利普希茨连

2、续函数类中时，最优控制的存在性．在光滑最优控制情形下，导出了一个最优化必要条件．关键词：最优控制；常微分方程；最优化必要条件中图分类号：0175文献标识码：A最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科．最优控制成为科学技术人员在设计控制系统时所追求的目标，而科学技术和工程中大量的问题都表达为常微分方程的形式，特别是描述系统的动态演变时．本文主要研究如下一类由二阶常微分方程所支配的具有状态约束的利普希茨控制问题：设受控系统的状态方程为y()+，(，Y)+(，，())=0，∈(0，1)，y

3、(O)=0，)，(1)=0，(1)其中，y)连续可微并且满足，0)=0，V∈(O，1)；I，Y。)一，Y2)I≤klY1一Y2I，V)，l，Y2∈[一口，a]．由于在实际控制问题中，大多数控制量受客观条件的约束，只能在一定范围内取值，我们要求状态满足约束条件ly()1≤a，V∈[0，1]．(2)另外，选取如下容许控制集∑={∈c([一8，口])：Itr(y)l≤b，V，，∈[一。，0]，Io-(y1)一o-(y)J≤lJYl一J，V，，1，Y2∈[一at0]}．(3)这是因为，通常情况下，控制函数还应该满足一定的连续性条件．其中a，b，Z

4、，k∈R，满足0

5、希茨控制问题研究一I一对于此类控制问题，目前的研究还不多．1996年，V．Barbu，K．Kunisch⋯和W．Ring对偏微分方程中的类似问题做了一些研究工作．最近，M．Goebel利用格林函数对状态方程比较简单的情形Yx)+cr(y(x))=O进行了研究，随后M．Akkouchi，A．Bounabat和M．Goebel3L推广到状态方程较为一般的情形(p()y())+q(x)y(x)+(())=0进行研究，并取得了好的结果．本文的目的是考虑状态方程为”()+，Y)+(y())=0的情形．1状态方程的解和最优控制的存在性令G=(，)表示

6、边值问题Y”()=0，∈(0，1)，y(O)=0，Y(1)=0惟一确定的格林函数[3]，求得C(x，)=一，当0≤≤≤1和C(x，)=一．函数G连续并在[0，1]X[0，1]上对称，有如下估计成立O≤一C(x，)≤l，V，∈[0，1]，0≤一2I’C(x，)d≤1，V∈[0，1]，11，0≤llG(，)I≤寺，Vx，∈[0，1]．令B(口)：={Y∈c([0，1])：Iy(x)l≤17,，Vx∈[0，1]}cc([0，1])，容易证得Y∈C([0，1])n(0)是非线性边值问题(1)的解当且仅当Y∈(口)是积分方程y(x)=一【c(x，)

7、[，)，())+()，())]，∈[0，1](4)的解．因此，前面给出的非线性边值问题(1)可以转化为积分方程(4)，文中的任何一个边值问题都可以应用这样的转化．那么只需考虑积分方程(4)的解．这里，应用Banach不动点定理，能证明对每一个∈∑，边值问题(1)都有惟一的解Y=Y()，而且这个解属于c([0，1])nB(0)．以下的引理1表明s是一个从c([一口，口])的闭凸子集∑口d到Banach空间c([o，1])的Lipschitz连续映射．引理1对任意IT"·，or：∈∑，有如下估计成立1Ily(o"·)一)，(z)llc([0．

8、1])≤一0"2Ilc([·(5)证明简单因此略去，根据引理1的估计，我们可以陈述问题P的最优控制的存在性：定理1最优控制问题P至少存在一个最优解。∈∑ad"2最优化必要条件2．1预备知识在这