二阶常微分方程初值问题数值方法的研究综述

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1、二阶常微分方程初值问题数值方法的研宄综述摘要：二阶常微分方程周期初值问题数值方法近些年来倍受人们的夫注。我们将对近些年来二阶常微分方程周期初值问题数值解的研究做一个简要的综述，并提出进一步研究的设想。关键词：周期初值问题；数值方法；代数精度；周期性区间；P一稳定性；相延迟阶1、引言考虑二阶常微分方程初值问题y〃=f(t，y)y(t^)=y0y'(U=y'o⑴里假设f(1，7):有足够的滑性，且不含Y的一阶导数项，并假设这一问有周期解或振荡解。这一问题的数值方法近些来备受人们的关注，因为在科学与工程的许多域中都能

2、碰到，比如天体力学，量子力学【1，2】论物理与化学，电子学以及偏微分方程的半离等等。例如，考虑一维Schr〜dinger方程/(x)=(A^±L+W(X)-E]y(x)其中1是一个非负整数，W(x)是势能函数，E是常数。这一方程的数值解近二十年來引起人广泛的兴趣，出现了许许多多的数值方法[3]。易见，这是二阶周期问题数值解的一个特款。本文我们将对近些年来二阶常微分方程周期初值问题数值解的研究做一个简要的综述，共分以下几个部分。在第二节中，我们给出这一问题的一些基本概念与基本理论；在第三节中，我们将结合自己的研究

3、工作对解这一问题的数值方法进行一些综述；最后在评论中，我们提出进一步研宄的设想。2、基本理论考虑有周期解或振荡解的二阶常微分方程初值问题(1)。在设计数值方法时，方法的代数精度通常是考虑的首要因素，这是因为代数精度愈高，我们得到的数值解就愈精确。定义1.[4]考虑解问题(1)的线性1步方法Itk0k0其中％，队是系数且作为y(k)的近似值，ffc=f(tbyku果方法(2)对充分可微函数y(t)有下式满足Xaky(Uk)-h2Sy"(t^)=0(h^2)则称方法(2)有q阶代数精度。下面考虑单步方法的代数精度

4、。将(1)化成与其等价的一阶系统定义2.[5]考虑解问题(1)的单步方法，如果对充分可微函数y(t)右下式满足y（k）-ynn=O（m，yz（Ui）-y'n^O（h^1）,r=min（p，q）,其中y（Ui）’yZ（Ui））为精确解，y^’y%为数值解，则称此单步方法有r阶代数精度。同时，由于问题的精确解是周期的或振荡的，故我们希望数值解也应有类似的性质，这样就产生了数值方法的稳定性问题。1976年，Lambert,Watson在讨论解问题（1）的线性对称多步法的稳定性时，基于纯量模型方程。和吻⑷提出了两个非常

5、重要的概念：周期性区间与P_稳定性f4］。当某个线性对称多步法用于（4）时，我们可以得该方法的特征多项式，如果存在一个实区问（0,H2。）使得对所有的（xh）¥（O’H2。），h是时问步长，特征多项式有两个共辆复根（称它们为主根（prin-cipalroots））位于单位圆周上，而其余的根（称它们力伪根（spuriousroots））均在单位圆内，则这个区间就是该方法的周期性区问。如果周期性区问是（0，+oo），则称该方法是P—稳定的。这意味着，如果选取一个步长h使得（hh）位于周期性区问中，则由主根引起的扰动

6、对解析解是一个周期逼近，而相对而言，由伪根引起的扰动则可以忽略不计。从几何上讲，此时数值解会停留在周期轨道上，而不会内旋或外旋，有时称这种现象为轨道稳定的（orbitallystable）oP稳定性则保证了无论步长取多大，数值解的周期性均能保持。此外，方法的相延迟（phase—lag）性质也是一个考虑的重要因素。相延迟是指精确解与数值解之间的夹角，它反映了两者的某种同步关系。这一概念最早由Brusa，Nigro在讨论线性结构动力系统的数值方法时提出的【6J。后來，Galdwell，Thomas,derHouwe

7、n，Sommerijer,Coleman,Simos等人详细讨论一些方法的相延迟性质，提出了相延迟阶的概念『7-11,31。为了便于说明，我们下而给出单步方法与两步方法的周期性区间，P—稳定性以及相延迟阶的定义与一些性质。考虑单步方法。将某一单步法运用至模型方程（4），则我们得到它的特征方程