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《二 平稳过程相关函数的性质.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、二平稳过程相关函数的性质一般用数字特征描述随机过程比用分布函数相对简便.对于平稳过程,描述其统计特性的数字特征是相关函数.1.(自)相关函数的性质定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,则其相关函数有性质:证明(1)若{X(t),t∈T}是周期平稳过程,即则其相关函数也是周期函数,且周期相同也为T0.特别定理设{X(t),t∈T}是平稳过程.则{X(t),t∈T}均方连续的充要条件是RX(τ)在τ=0处连续.此时,RX(τ)是连续函数.证明充分性由均方连续的定义{X(t),t∈T}均方连续.必要性若{X(t),t∈T}均方连续.则有
2、{X(t),t∈T}均方连续下证RX(τ)是连续函数(1){X(t),t∈T}均方可导的充分条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数存在,二阶导数存在且连续.定理设{X(t),t∈T}是平稳过程,{X(t),t∈T}均方可导的必要条件是RX(τ)在τ=0处一阶导数,二阶导数存在.证明(1)即RX(τ)在τ=0处一阶导数存在.同理可证RX(τ)在τ=0处二阶导数存在.即RX(s,t)在(t,t)处关于s的一阶偏导数存在.同理可证RX(s,t)在(t,t)处关于t的一阶偏导数存在.(2)若{X(t),t∈T}均方可导,则其导数过程{X′(t
3、),t∈T}仍然是平稳过程.且证明(2)即导数过程{X′(t),t∈T}仍然是平稳过程.推论(1)设{X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程.则对任意的t∈T,X(t)与X′(t)不相关.特别(2)若{X(t),t∈T}还是正态过程,则X(t)与X′(t)独立.证明(1){X(t),t∈T}是均方可导的实平稳过程.所以X(t)与X′(t)不相关.证明(2)由{X(t),t∈T}是正态过程,正态变量所以X(t)与X′(t)独立.定理设{X(t),t∈R}是均方连续的平稳过程,f(t)为分段连续函数,则在任何有限区间[a,b]上,积
4、分在均方意义下存在,且对任一分段连续函数g(t),有证明因为{X(t),t∈R}均方连续2.联合平稳的平稳过程及其互相关函数的性质定义设{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}是两个平稳过程.若对任意的s,t∈T,有则称{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}为联合平稳的平稳过程.此时若令Z(t)=X(t)+Y(t),问Z(t)是否为平稳过程?定理设{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}为联合平稳的平稳过程.则其互相关函数RXY(s,t)具有如下性质(1)(2)(3)证明(1)证明(2)证明(3)推论(2)设{X(t),t
5、∈T},{Y(t),t∈T}为实联合平稳的平稳过程.则其互相关函数RXY(s,t)满足(1)设{X(t),t∈T},{Y(t),t∈T}为联合平稳的平稳过程.则其互协方差函数CXY(s,t)也满足本节举例设平稳过程的相关函数为其中为常数,试判断过程是否均方可导；若均方可导，试求导数过程的均值函数和相关函数。处连续，故均方可导，于是
