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1、平稳过程的自相关函数性质平稳过程的自相关函数性质221、RX(0)=E[X(t)]=ΨX≥0平稳过程的自相关函数在τ=0上的值是非负值。在下面将看到R(0)表示平稳过程X(t)的“平均功率”。X2、R(τ)=R(−τ)XX即自相关函数在是变量的偶函数。τ证明：R(τ)=E[X(t)X(t+τ)]X=E[X(t+τ)X(t)]=R(−τ)X同理可得，C(τ)=C(−τ)XX3、RX(0)≥
2、RX(τ)
3、即自相关函数在τ=0上具有最大值。证明：任何正函数的数学期望恒为非负值，即2E{[X(t)±X(t+τ)]}≥022E[X(t)±2X(t)X(t+τ)+X(t+τ)]≥022对于平稳
4、过程X(t)，有E[X(t)]=E[X(t+τ)]=R(0)X代入前式，可得2R(0)±2R(τ)≥0于是XXR(0)≥
5、R(τ)
6、XX同理可得：2C(0)=σ≥C(τ)XXX即自协方差函数在τ=0上也具有最大值。值得注意的是QRX(0)≥
7、RX(τ)
8、,∴这里并不排除在其它τ≠0地方的R(τ)也有可能出现同样的最大值。X2例如，随机相位正弦信号的自相关函数α，R(τ)=cosωτX02nπ22在，τ=n=0，±1，±2，…时，均出现最大值α。ω022R()ατX202πτω04、若平稳过程X(t)满足条件X(t+T)=X(t)，则称它为周期平稳过程，其中T为过程的周期。周期平稳过
9、程的自相关函数必为周期函数，且它的周期与过程的周期相同。R(T+τ)=R(τ)XX证明：由自相关函数的定义和周期性条件，容易得到R(T+τ)=E[X(t)X(t+τ+T)]=E[X(t)X(t+τ)]=R(τ)XX例如：X(t)=αcos(ω0t+θ)，θ在(0，2π)上均匀分布，α—常数2则自相关函数α←与X(t)有相同的周期2π。R(τ)=⋅cosωτX205、若平稳过程X(t)含有一个周期分量，那么Rx(τ)也可能含有一个同周期的周期分量。例如：设某接收机的输入混合信号X(t)是随机相位正弦信号S(t)和噪声电压N(t)之和。即：X(t)=S(t)+N(t)=αcos(ωt+
10、Φ)+N(t)0式中Φ为在(0，2π)上均匀分布的随机变量，N(t)为平稳过程，且对于所有t而言，Φ与N(t)统计独立。于是，我们很容易求出X(t)的自相关函数为：2αR(τ)=R(τ)+R(τ)=cosωτ+R(τ)XSN0N2由此可见，Rx(τ)含有与X(t)相同周期的周期分量Rs(τ)。6、若平稳过程中不含有任何周期分量，则有2limR(τ)=R(∞)=mXXX
11、τ
12、−>∞证明：QR(τ)=E[X(t)X(t+τ)]X对于此类非周期平稳过程，当
13、τ
14、增大时，随机变量X(t)与X(t+τ)之间的相关性会减弱；在
15、
16、τ→∞的极限情况下，两者互相独立，故有：lim()lim[()(
17、)]Rτ=EXtXt+τX
18、
19、ττ−>∞
20、
21、−>∞=lim[()]EXtEXt⋅+[(τ)]=mm⋅XX
22、
23、τ−>∞2即：R(∞)=mXX22同理可得QCRm()ττ=−∴()，limCRm()τ=()∞−XXXXXXτ→∞limC(τ)=C(∞)=0XX
24、τ
25、−>∞7、若非周期平稳过程X(t)含有平均分量（均值）mX,则自相关函22数也含有平均分量mX。即RCmXXX()ττ=+()2由于，非周期平稳过程有RX(∞)=mX则有RCRXXX()τ=()τ+∞()因此在τ=0时，可得到RCR(0)=(0)+∞()XXX2CRR(0)=−(0)()∞，σ=−RR(0)()∞XXXXXX
26、例1已知平稳过程X(t)的自相关函数为−10
27、τ
28、R(τ)=100e+100cos10τ+100X求：X(t)的均值，均方值，方差。−10
29、τ
30、解：Rx(τ)中非周期分量RX2(τ)=100e+100Rx(τ)中周期分量2αR(τ)=100cos10τ=cos10τ⇔X(t)=αcos(10t+θ)X112因为X(t)=X1(t)+X2(t)是平稳过程，所以X1(t)也是平稳过程，即θ在(0，2π)上均匀分布，E[X1(t)]=0。E[X(t)]=E[X(t)]+E[X(t)]=E[X(t)]+0212E[X(t)]=E[X(t)]=±R(∞)=±102X22E[X(t)]=R(0
31、)=300X22σ=C(0)=R(0)−m=200XXXX8、平稳过程自相关函数的图形不会出现“平顶”，“垂直边”或在幅度上的任何不连续。即是说平稳过程自相关函数中不会含有阶跃因子U(t)。理由是平稳过程的自相关函数与功率谱密度是一对傅立叶变换。RG()τ↔()ωXX1如果RX(τ)中含有U(τ)因子,则G(ω中含有)[()πδω+Å]虚数因Xjω子。第三章证明平稳过程的功率谱密度G(ω)是的实函数，Xω⎡1⎤不含有⎢πδ(ω)+⎥Å虚数因子。则RX(τ)中不含有U(
