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1、学案3平面向量的数量积平面向量的数量积(1)理解平面向量数量积的含义及其物理意义.(2)了解平面向量的数量积与向量投影的关系.(3)掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.(4)能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.这一部分是向量的核心内容,高考的一个命题点,填空题、选择题重在考查数量积的概念、运算律、性质、向量平行、垂直、向量的夹角、距离等,解答题重在与几何、三角、代数等结合的综合题.1.平面向量的数量积已知两个非零向量a和b,则叫做a与b的数量积(或内积),记作.规定:零向量与任一向量的数量积为.两个非零向量a与b垂
2、直的充要条件是,两个非零向量a与b平行的充要条件是.
3、a
4、
5、b
6、·cosa·b=
7、a
8、
9、b
10、·cos0a·b=0a·b=±
11、a
12、
13、b
14、2.平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
15、a
16、与b在a的方向上的投影的乘积.3.平面向量数量积的重要性质(1)e·a=a·e=;(2)非零向量a,b,a⊥b;(3)当a与b同向时,a·b=;当a与b反向时,a·b=,a·a=,
17、a
18、=;
19、b
20、cos
21、a
22、cosa·b=0
23、a
24、
25、b
26、-
27、a
28、
29、b
30、a2(4)cosθ=;(5)
31、a·b
32、
33、a
34、
35、b
36、.4.平面向量数量积满足的运算律(1
37、)a·b=(交换律);(2)(λa)·b==(λ为实数);(3)(a+b)·c=.≤b·aλa·ba·λba·c+b·c5.平面向量数量积有关性质的坐标表示(1)设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=,由此得到:若a=(x,y),则
38、a
39、2=或
40、a
41、=.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点间的距离
42、AB
43、=
44、AB
45、=.(3)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b.x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x2+y2已知向量a,b满足
46、a
47、=1,
48、b
49、=2,a与b的夹角为60°,则
50、a-b
51、=.【分析】求
52、a-b
53、可
54、先求
55、a-b
56、2.考点1数量积的计算【解析】
57、a-b
58、=【评析】求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为θ,θ∈[0°,180°],再分别求
59、a
60、,
61、b
62、,然后再求数量积即a·b=
63、a
64、
65、b
66、cosθ,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及
67、a+b
68、;(2)若f(x)=a·b-
69、a+b
70、,求f(x)的最大值和最小值.【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–s
71、in),∵x∈[],∴cosx>0,∴
72、a+b
73、=2︱cosx︱.(2)由(1)可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若
74、a
75、=1,则
76、a
77、2+
78、b
79、2+
80、c
81、2的值是.【分析】由垂直的充要条件,寻找
82、a
83、,
84、b
85、,
86、c
87、之间的关系.考点2利用向量解决垂直问题【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-
88、a
89、2-a·c=0
90、,∴a·c=-
91、a
92、2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴
93、a
94、2=
95、b
96、2+
97、c
98、2+2b·c,∴
99、b
100、2+
101、c
102、2=
103、a
104、2-2b·c=3,∴
105、a
106、2+
107、b
108、2+
109、c
110、2=4.【评析】垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起,要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba1b2-a2b1=0.已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求证:a+b与a
111、-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=
112、a
113、2-
114、b
115、2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),
116、ka+b
117、=,
118、a-kb
119、=.∵
120、ka+b
121、=
122、a-kb
123、,∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(β-α)=0.而0<α<β<π,∴β-α=.已知
124、a
125、=1,a·b=,(a-b)·(
126、a+b)=