学案3平面向量的数量积(I)

《学案3平面向量的数量积(I)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、学案3平面向量的数量积考点一考点二考点三考点四返回目录1.平面向量的数量积的概念（1）已知两个非零向量a与b，我们把数量叫做向量a和b的数量积（或内积），记作a·b,即a·b=，其中θ是a与b的夹角，叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影.规定：零向量与任一向量的数量积都为0.

2、a

3、

4、b

5、cosθ

6、a

7、

8、b

9、cosθ

10、a

11、cosθ(

12、b

13、·cosθ)返回目录（2）数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

14、a

15、与上的投影

16、b

17、cosθ的乘积.2.平面向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e=e·a=;(2)a⊥ba·b=0且a·b=0a⊥b

18、;(3)a·a=

19、a

20、2或;(4)cos=;(5)

21、a·b

22、≤

23、a

24、

25、b

26、.b在a方向

27、a

28、cos返回目录3.平面向量数量积的运算律（1）交换律：；（2）分配律：；（3）数乘向量结合律：.4.向量的长度、距离和夹角公式(1)设a=(a1,a2),则

29、a

30、=.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2)，则

31、AB

32、=.(3)设a=(a1,b1),b=(a2,b2),则cos=a·b=b·a(a+b)·c=a·c+b·c(λμ)·a=λ(μa)返回目录5.平面向量数量积的坐标表示（1）若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·

33、b=.（2）若a=(x,y)，则

34、a

35、2=a·a=,

36、a

37、=.（3）若a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则a⊥b.x1x2+y1y2=0x1x2+y1y2x2+y2返回目录已知向量a=(cosx,sinx),b=(cos,-sin),且x∈〔-,〕.(1)求a·b及

38、a+b

39、;(2)若f(x)=a·b-

40、a+b

41、,求f(x)的最大值和最小值.考点一数量积的计算返回目录【解析】(1)a·b=cosxcos-sinxsin=cos2x,a+b=(cosx+cos,sinx–sin),∵x∈[],∴cosx>0,∴

42、a+b

43、=2︱cosx︱.【分析】利用

44、数量积的坐标运算及性质即可求解,在求

45、a+b

46、时注意x的取值范围.(2)由（1）可得f(x)=cos2x-2cosx=2cos2x-2cosx-1=2(cosx-)2-.∵x∈[],∴≤cosx≤1,∴当cosx=时,f(x)取得最小值为-;当cosx=1时,f(x)取得最大值为-1.返回目录返回目录(1)与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型.解答此类问题,除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识.(2)求平面向量数量积的步骤:首先求a与b的夹角为θ,θ∈［0°,180

47、°］,再分别求

48、a

49、,

50、b

51、,然后再求数量积即a·b=

52、a

53、

54、b

55、cosθ,若知道向量的坐标a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1y2.＊对应演练＊已知

56、a

57、=3,

58、b

59、=4,且a与b的夹角为θ=150°,求a·b,(a-b)2,

60、a+b

61、.a·b=

62、a

63、·

64、b

65、·cosθ=-6.（a-b）2=

66、a

67、2+

68、b

69、2-2a·b=25+12.

70、a+b

71、=返回目录返回目录设向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b.若

72、a

73、=1,则

74、a

75、2+

76、b

77、2+

78、c

79、2的值是.【分析】由垂直的充要条件,寻找

80、a

81、,

82、b

83、,

84、c

85、之间的

86、关系.考点二利用向量解决垂直问题【解析】∵a⊥b,b=-a-c,∴a·b=a·(-a-c)=-

87、a

88、2-a·c=0,∴a·c=-

89、a

90、2=-1.又∵(a-b)⊥c,∴(a-b)·c=0,∴a·c=b·c=-1.∵a=-b-c,∴

91、a

92、2=

93、b

94、2+

95、c

96、2+2b·c,∴

97、b

98、2+

99、c

100、2=

101、a

102、2-2b·c=3,∴

103、a

104、2+

105、b

106、2+

107、c

108、2=4.返回目录垂直问题是一个重要的知识点,在高考题中常常出现,常与向量的模、向量的坐标表示等联系在一起，要特别注意垂直与平行的区别.若a=(a1,a2),b=(b1,b2),则a⊥ba1a2+b1b2=0,a∥ba

109、1b2-a2b1=0.返回目录＊对应演练＊已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π).(1)求证:a+b与a-b互相垂直;(2)若ka+b与a-kb的模相等,求β-α(其中k为非零实数).(1)证明:(a+b)·(a-b)=a2-b2=

110、a

111、2-

112、b

113、2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0,∴a+b与a-b互相垂直.(2)ka+b=(kcosα+cosβ,ksinα+sinβ),a-kb=(cosα-kcosβ,sinα-ksinβ),

114、ka+b

115、=,

116、a-kb

117、=.∵

118、ka+b

119、=

120、a-kb

121、,∴

122、2kcos(β-α)=-2kcos(β-α).又k≠0,∴cos(