资源描述：
《高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第29卷第6期黄冈师范学院学报Vo.l29No.62009年12月JournalofHuanggangNormalUniversityDec.2009高等数学背景下的函数与不等式高考试题分析李明生(武汉体育学院文化课教研室,湖北武汉430079)摘要以高等数学中的有关知识为背景,从连续函数在闭区间上的性质、严格凸函数的性质、詹森不等式三个方面对近几年来全国及各省、市部分高考题,特别是高考压轴题中的函数与不等式综合题进行了分析和解答。关键词函数;不等式;导数;单调性中图分类号G633.66
2、文献标识码A文章编号1003-8078(2009)06-021-04CollegeEntranceExaminationanalysisoffunctionandinequalitywithadvancedmathemacticesLIMing-sheng(DepartmentofTraining,WuhanInstituteofPhysicalEducation,Wuhan430079,Hube,iChina)AbstractWithrelatedknowledgeofadvancedmathema
3、ctics,weapplythepropertiesofcontinuousfunctioninclosedintervalandrigorousconvexfunction,andJensensinequalitytoanalyseandsolvesometestques-tionsoftheCollegeEntranceExaminationinrecentyears,especiallythecompositivequestionsoffunctionandinequality.Keywordsfuncti
4、on;inequality;derivative;monotone随着高考制度改革的不断深化,全国以及各省、市自主命题的高考试题不断有所创新。这种创新一方面体现在更加重视对学生能力的考查;另一方面体现在更加注重对数学思想和数学知识应用的考查。它的一个体现就是高考数学题中出现了以高等数学知识为背景的题目。近几年来,以高等数学知识为背景的函数与不等式综合题在高考中频繁出现,并且常常充当了压轴题的角色。此类试题有以下特点:在知识上以函数和不等式为载体研究相关函数的性质;在方法上重点考查求一阶导数、二阶导数,判断函数的单调性
5、,放缩法等方法和数形结合的思想。由于本文出现的定理在各版本的高等数学或数学分析中都可以查到,所以定理的证明过程略去,仅使用其结论。对于本文中不属于以高等数学中的有关知识为背景的试题的子问题仅给出结果不写出解答过程。1连续函数在闭区间上的性质定理1(有界性定理)若函数f(x)在闭区间I上连续,则f(x)在闭区间I上必有界.[1]例1(2007年安庆高考模拟题)设函数f(x)在闭区间I上连续,常数M,对xI,满足
6、f(x
7、2M,那么称f(x)是I上的有界函数.已知f(x)=x+1-ax,求使
8、f('x)
9、
10、1在x[0,+)上恒成收稿日期:2009-04-22.作者简介:李明生,男,湖北武汉人,讲师,理学硕士,从事高等数学教学与研究.22黄冈师范学院学报第29卷立的a的取值范围.x解f'(x)=-a,因为f'(x)在x[0,+)上连续,且f'(0)=-a,limf'(x)=2x+x+1xlim(-a)=1-a,所以在x[0,+)必有界.x+2x+11f(x)=,因为x[0,+),所以f(x)>0,从而f('x)在区间[0,+)上是增函22(x+1)x+1数.从而-af(
11、'x)1-a.又因为
12、f('x)
13、1-1f'(x)1在x[0,+)上恒成立,所以-1-a且1-a1,求得0a1.本题是以高等数学中连续函数在闭区间上有界定理为背景,结合导数与函数的单调性转化为不等式求解.它要求学生有较强的知识转化能力.定理2(根的存在性定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)f(b)<0,那么在开区间(a,b)内至少有一点,使f()=0.[2]例2(2004年广东高考题)设函数f(x)=x-㏑(x+m),其中常数m为整数.()当m为何值时,f(x)
14、0;-m2m()当m>1时,方程f(x)=0在[e-m,e-m]内有两个实数根.解()当m1时,f(x)0(过程略).-m2m-m2m-m2m()由条件m>1知e<11时,f(
