高等数学课后习题答案4_上海交大版.pdf

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1、第四章微分中值定理和导数的应用xt1．验证罗尔定理对函数y=esinx在区间[0,3π]上的正确性。x解答：因为函数y=esinx在区间[0,3π]上连续，在(0,3)π内可导，且y(0)=y(3)π=0，满足x3罗尔定理条件，又由于y'=e(sinx+cos)x，当ξ=π∈(0,3)π时，y'()ξ=0，即罗尔定理的4结论成立。验证完毕。所属章节：第四章第一节难度：一级2．验证拉格朗日定理对函数y=arctanx在区间[0,1]上的正确性。解答：因为函数y=arctanx在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，满足拉格朗日定理条件，

2、又14−πy(1)−y(0)π由于y'=，当ξ=∈(0,1)时，y'()ξ==，即拉格朗日定理的结论成立。21+xπ10−4验证完毕。所属章节：第四章第一节难度：一级3．就下列函数及其区间，求罗尔定理或拉格朗日定理中ξ的值：⎡π5π⎤（1）fx()=lnsin,x,；⎢⎥⎣66⎦（2）fx()=arcsin,x[−1,1]；2（3）fx()=ax+bxcxx+,[,+hh](>0).（原题少右上标2）00π5ππ解答：（1）由于f()=−ln2=f()，令f'()ξ=cotx=0，有ξ=；x=ξ6622ππ1f(1)−f(1)−ππ−4（

3、2）由于f(1)=,(1)f−=−，令f'()ξ===，得ξ=±；x=ξ221−x21(1)−−2π22（3）由于fx(+h)=ax(+h)+bx(+h)+cfx,()=ax+bx+c，令000000fx(+h)−fx()100f'()ξ=(2axb+)==2ax+ahb+，得ξ=x+h。x=ξ00h2所属章节：第四章第一节83难度：一级14．函数fx()=在区间[ab,]上是否满足拉格朗日定理的条件？x参考答案：当0∉[ab,]时，fx()满足拉格朗日定理的条件，当0∈[ab,]时，fx()不满足拉格朗日定理的条件。11fb()−fa(

4、)11解答：由于fb()=,()fa=,=−，当x≠0时，有导数fx'()=−，所以当2baba−abx0∉[ab,]时，fx()满足拉格朗日定理的条件，且ξ=ab或ξ=−ab；当0∈[ab,]时，fx()由于有不可导点，不满足拉格朗日定理的条件。所属章节：第四章第一节难度：二级25．验证函数fx()=xgx,()=x在区间[1,4]上满足柯西定理的条件。2解答：函数fx()=xgx,()=x在闭区间[1,4]上连续，在开区间(1,4)内可导，在区间(1,4)内1gx'()=≠0，所以满足柯西定理的条件。2x所属章节：第四章第一节难度：一

5、级nn−1n−1n−26．若方程ax+ax+⋅⋅⋅+ax=0有一正根x=x，则方程anx+an(−1)x+⋅⋅⋅+a=001n−1001n−1必有一个小于x的正根。0nn−1解答：令fx()=ax+ax+⋅⋅⋅+ax，则由条件知函数fx()在区间[0,x]上满足罗尔定理01n−10n−1n−2条件，所以至少存在正数ξ∈(0,x)使f'()ξ=0，即ξ为方程anx+an(−1)x+⋅⋅⋅+a=0001n−1小于x的正根，得证。0所属章节：第四章第一节难度：二级7．若fx()在[ab,]上二阶可导，且fa()=fb()=fc()，其中c是(,

6、)ab内的某一点，求证方程f′′()x=0在(,)ab内必有一实根。解答：由题设条件知函数fx()在[ac,,[,]]cb上均满足罗尔定理条件，于是存在ξ∈(,),acξ∈(,)cb，使f()ξ=f()ξ=0，再在区间[,ξξ]上应用罗尔定理，有12121284ξ∈(,ξξ)⊂(,)ab，使f′′()ξ=0，也即方程f′′()x=0在(,)ab内必有一实根。12所属章节：第四章第一节难度：二级38．证明方程x−3xc+=0在开区间(0,1)内不含有两个相异的实根。3解答：反证法。假设方程x−3xc+=0在开区间(0,1)内含有两个相异的实

7、根，记为xx,，其12333中x

8、−1解答：令fx()=x+x+⋅⋅⋅+x+ax，则fx'()=ax+ax+⋅⋅⋅+axa+，由n01n−1nn+1n2题设条件知函数fx()在区间[0,1]上满足罗尔定理条件，所以至少存在实数