泛函课后习题.pdf

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1、36页第20题357页题：证明X是距离空间，距离空间s中，按距离收敛等价于按坐标收敛T是X上到自身的映射且满足条件：（）n(n)证明：1）设点列kSn,1,2,对任意的x,yX，当xy时（）n又kSd,(,)0则的充要条件是d(Tx,Ty)

2、()nkk0minG(xGxxX)(00),则对于每个k,有（n0）xX()n1kk假设0,()n2从而kk（n0）Gx()(,)(,00dxTx00dTxTx01)(,)dxy1()nxXXy，2）反之，设（n）,k=1,2,,11kk与已知矛盾，故0即对0,mN使得当n>N时kdx(,)0Tx,xTx0000()n有取,kk,Nmax{,NN12,Nm1}x0为中的不动点X2假设另有一个xxT,xx则当n

3、N时，有1011dTxTx(,)(,)dxxm-1()n010111kk2dxx(,)(,)dxx22kk1()n20101kk11kk12与已知矛盾从而，当nN时，有故在上有唯一的不动点。TX()nm-11()nkkd(,)()k()nkk1m21kk()n即d(,)035页第10题9.证明距离空间中每一个Cauchy列是有界证明距离空间的完备子空间是闭子空间集。证明：设X子是开集，则x0∈X，证：{Xn}为Cauchy列→取ε=1，

4、N使得ε>0,S(x0,ε→)∩X子≠∅当n>N时即X0是X子接触点，且x0∉X子有d(Xn,XN)<ε=1则存在数列{xn}X子，ε>0,N即对定点X0,取XN+1为球心，有使得m,n>N时d(Xn,X0)≤d(Xn,XN)＋d(Xn,X0)有d(xn,x0)<ε/4,d(xm,x0)<3ε/4,＜1＋d(XN,X0)即，d(xm,xn)<ε取r＝max{d(X1,X0),d(X2,X0),……,故{xn}是X子上的柯西序列d(XN,X0)+1}而X子完备，故{xn}收敛则有d(Xn,X0)＜r对n成立limx

5、xX即开球S(X0,r)使得{Xn}S(X0,r)n子子n亦Cauchy列是有界集。而在X上显然有limxxn0n这与极限的唯一性矛盾故假设不成立，X子是闭子空间P35.2证明如果d是集X上的距离，则37页第18题dd也是X上的距离。设是完备距离空间，是上到自身的映XTX11d射，证明：x,yX，在闭球B{:xXdxxr(,)}上，d0（1）因为d0，所以d0。1d(TxTy,)dxy(,),且d(,xTx)(1)r1d00其中，01,T证明:在上有唯一不动点Bd0当

6、且仅当d0，即xy时成立。1证明：1）xx,(xdB，x,xr)nnn0（2）由dxydyx(,)(,)得，dxx(,)(,)dxTx01nn0dxy(,)dyx(,)dxy11(,)dyx(,)dxTx(,)(,)00dTxTx0n1(,)1(,)dxydyx(1)rdxx(,)(1)rrrt10n（3）设()t，有()t0，则2xB,,xB而完备，XB为闭球1t(1t)nn1B也是完备的()t为增函数。由dxydxzdzy(,)(,)(

7、,)xxxB，B，T,Bd(x,x)rn10知，由压缩映射原理：dxzdzy(,)(,)dxy(,)1dxTxdxTx(,)(,)(,)dTxTxr1(,)(,)dxzdzy0000dxz(,)dzy(,)dxx(,)(,)dTxTxdxx(,)(1)r1201011(,)(,)1(,)(,)dxzdzydxzdzy2dxx(,)(,)dTxTxdxx(,)(1)rdxz(,)dzy(,)231212dxzdzy(,)(,)111(,)1(,)dxz

8、dzy由（1）（2）（3）可知，dxx(,)(dTx,)Txn(1)rnn11nndd也是X上的距离。dx(,)(,)npnxdxnpnpx11dxx(,)nn11dnp1n(1)rr(1)np12p1