泛函分析课后习题答案.doc.doc

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1、第七章习题解答1．设（X，d）为一度量空间，令问的闭包是否等于？解不一定。例如离散空间（X，d）。={}，而=X。因此当X多于两点时，的闭包不等于。2设是区间上无限次可微函数的全体，定义证明按成度量空间。证明（1）若=0，则=0，即f=g（2）=d（f，g）+d（g，h）因此按成度量空间。3．设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集包含B，而且。证明令是开集：设，则存在，使。设则易验证，这就证明了是开集显然。若则对每一个n，有使，因此。因B是闭集，必有，所以。证毕4设d（x，y）为空间X上的距离，证明是X上的距离证明（1）若则，必有x=y（2）因而在上是单增函数，于是==。证毕。5

2、，证明点列{}按习题2中距离收敛与的充要条件为的各阶导数在[a，b]上一致收敛于f的各阶导数证明若{}按习题2中距离收敛与，即——>0因此对每个r，——>0，这样——>0，即在[a，b]上一致收敛于。反之，若的（t）各阶导数在[a，b]上一致收敛于f（t），则任意，存在，使；存在，使当时，max，取N=max{}，当n>N时，即——>0。证毕6设，证明度量空间中的集{f

3、当tB时f（t）=0}中的闭集，而集A={f

4、当tB时，

5、f（t）

6、〈a（a0）为开集的充要条件是B为闭集证明记E={f

7、当tB时f（t）=0}。设，按中度量收敛于f，即在[a，b]上一致收敛于f（t）。设，则，所以

8、fE，这就证明了E为闭集下面证明第二部分充分性。当B是闭集时，设fA。因f在B上连续而B是有界闭集，必有，使。设。我们证明必有。设，则若，必有，于是，所以这样就证明了A是开集必要性，设A是开集，要证明B是闭集，只要证明对任意若，必有倘若，则定义。于是对任意，因此由于A是开集，必有，当C[a，b]且时，定义，n=1，2。。。。。则因此当时，。但是，此与的必要条件：对任意，有矛盾因此必有证毕7设E及F是度量空间中的两个集，如果，证明必有不相交开集O及G分别包含E及F证明设。令则且，事实上，若，则有，所以存在E中的点x使，F中点y使，于是，此与矛盾。证毕8设B[a，b]表示[a，b]上实有

9、界函数全体，对B[a，b]中任意两元素f，gB[a，b]，规定距离为。证明B[a，b]不是可分空间证明对任意[a，b]，定义则B[a，b]，且若，倘若B[a，b]是不可分的，则有可数稠密子集，对任意[a，b]，必有某，即。由于[a，b]上的点的全体是不可树集。这样必有某，，使，，于是此与矛盾，因此B[a，b]不是可分空间。证毕9设X是可分距离空间，为X的一个开覆盖，即是一族开集，使得对每个，有中的开集O，使得，证明必可从中选出可数个集组成X的一个开覆盖。证明若，必有，使，因是开集，必有某自然数n，使。设是X的可数稠密子集，于是在中必有某，且。。事实上，若，则所以。这样我们就证明了对任

10、意，存在k，n使且存在任取覆盖的O，记为是X的可数覆盖。证毕10X为距离空间，A为X中子集，令证明是X上连续函数证明若对任意，存在，使。取。则当时因此。由于x与对称性，还可得。于是。这就证明了是X上连续函数11设X为距离空间，是X中不相交的闭集，证明存在开集使得。证明若，则由于，为闭集，必有，使，令，类似，其中，显然是开集，且。倘若，则必有，使。设。不妨设，则因此，此与矛盾。这就证明了。证毕12设X，Y，Z为三个度量空间，f是X到Y中的连续映射，g是Y到Z中的连续映射，证明复合映射是X到Z中的连续映射证明设G是Z中开集，因g是Y到Z中的连续映射，所以是Y中开集。又f是X到Y中的连续映

11、射，故是X中的开集。这样是X中的开集，这就证明了g。f是X到Z的连续映射。证毕13X是度量空间，证明f是连续映射的充要条件是对每个实数c，集合和集合都是闭集证明设f是X上连续的实函数，又对每一实数c，G=（c，）是开集，于是是开集。这样=是闭集。同理是闭集。反之，若对每个实数c，和都是闭集，则和都是开集。设G是直线上的开集，则或，其中是G的构成区间。不妨设于是是开集。因此f是连续的实函数。证毕13证明柯西点列是有界点列。证明设{}是X中的柯西点列。对1>0，存在N，使当n，m时，，令则对任意有。因此{}是有界点列。证毕15证明第一节中空间S，B（A），以及离散的度量空间都是完备的度量

12、空间证明（1）S是完备的度量空间设{}是S中的柯西点列，对每一个固定的i，由于，因此对任意存在，当时，对此，存在n，m时，，因此，从而〈。这样对固定的i，是柯西点列。设。令，故有，且对任意给定，存在，使。存在使时，。于是当时，+〈所以{}按S的距离收敛于x（2）B（A）是完备的度量空间设是B（A）中的柯西点列，任意，存在N，使当n，m时。这样对任意，。因此对固定的t，{}是柯西点列。设，由于n，m时，令，得，这样，于是故x（A），且n〉N时，。这就证明了按