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《2003年考研数学三真题及答案.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2003年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）⎧⎪xλcos1,若x≠,0（1）设f(x)=⎨x其导函数在x=0处连续，则λ的取值范围是＿.⎪⎩,0若x=,03222（2）已知曲线y=x−3ax+b与x轴相切，则b可以通过a表示为b=＿＿.⎧a,若0≤x≤,1（3）设a>0，f(x)=g(x)=⎨而D表示全平面，则⎩,0其他，I=∫∫f(x)g(y−x)dxdy=＿＿＿.DT（4）设n维向量α=(a,0,L,0,a),a<0；E为n阶单位矩阵，矩阵T1TA=E−α
2、α，B=E+αα，a其中A的逆矩阵为B，则a=＿＿＿.（5）设随机变量X和Y的相关系数为0.9,若Z=X−4.0，则Y与Z的相关系数为＿＿＿.（6）设总体X服从参数为2的指数分布，X,X,L,X为来自总体X的简单随机样12nn12本，则当n→∞时，Yn=∑Xi依概率收敛于＿＿＿.ni=1二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）f(x)（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且f′)0(存在，则函数g(x)=（）x(A)在x=0处左极限不存在.(B)
3、有跳跃间断点x=0.(C)在x=0处右极限不存在.(D)有可去间断点x=0.（2）设可微函数f(x,y)在点(x,y)取得极小值，则下列结论正确的是()00(A)f(x,y)在y=y处的导数等于零.（B）f(x,y)在y=y处的导数大于零.0000(C)f(x,y)在y=y处的导数小于零.(D)f(x,y)在y=y处的导数不存在.00001a+aa−annnn（3）设p=，q=，n=,2,1L，则下列命题正确的是()nn22∞∞∞(A)若∑an条件收敛，则∑pn与∑qn都收敛.n=1n=1n=1∞∞∞(B)若∑an绝对收敛，则∑pn与
4、∑qn都收敛.n=1n=1n=1∞∞∞(C)若∑an条件收敛，则∑pn与∑qn敛散性都不定.n=1n=1n=1∞∞∞(D)若∑an绝对收敛，则∑pn与∑qn敛散性都不定.n=1n=1n=1⎡abb⎤⎢⎥（4）设三阶矩阵A=bab，若A的伴随矩阵的秩为1，则必有⎢⎥⎢⎣bba⎥⎦(A)a=b或a+2b=0.(B)a=b或a+2b≠0.(C)a≠b且a+2b=0.(D)a≠b且a+2b≠0.（5）设α,α,L,α均为n维向量，下列结论不正确的是12s(A)若对于任意一组不全为零的数k,k,L,k，都有kα+kα+L+kα≠0，12s112
5、2ss则α,α,L,α线性无关.12s(B)若α,α,L,α线性相关，则对于任意一组不全为零的数k,k,L,k，都有12s12skα+kα+L+kα=.01122ss(C)α,α,L,α线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s.12s(D)α,α,L,α线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.12s（6）将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A={掷第一次出现正面}，A={掷第二次出现12正面}，A={正、反面各出现一次}，A={正面出现两次}，则事件34(A)A,A,A相互独立.(B)A,A,A相互独立.123234(C)A,A,
6、A两两独立.(D)A,A,A两两独立.123234三、（本题满分8分）2设1111f(x)=+−,x∈[1,).πxsinπxπ1(−x)21试补充定义f(1)使得f(x)在[]1,上连续.2四、（本题满分8分）22∂f∂f122设f(u,v)具有二阶连续偏导数，且满足+=1，又g(x,y)=f[xy,(x−y)],22∂u∂v222∂g∂g求+.22∂x∂y五、（本题满分8分）计算二重积分22−(x+y−π)22I=∫∫esin(x+y)dxdy.D22其中积分区域D={(x,y)x+y≤π}.六、（本题满分9分）∞2nnx求幂级数
7、1+∑(−)1(x<)1的和函数f(x)及其极值.n=12n七、（本题满分9分）设F(x)=f(x)g(x),其中函数f(x),g(x)在(−∞,+∞)内满足以下条件：xf′(x)=g(x)，g′(x)=f(x)，且f(0)=0,f(x)+g(x)=2e.(1)求F(x)所满足的一阶微分方程；(2)求出F(x)的表达式.八、（本题满分8分）设函数f(x)在[0，3]上连续，在（0，3）内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试证必存在ξ∈)3,0(，使f′(ξ)=.0九、（本题满分13分）已知齐次线性方程组⎧(a1+
8、b)x1+a2x2+a3x3+L+anxn=,0⎪ax+(a+b)x+ax+L+ax=,0⎪112233nn⎪⎨a1x1+a2x2+(a3+b)x3+L+anxn=,0⎪LLLLLLLLLL⎪⎪ax+ax+ax+L+(a
