2010年考研数学三真题及答案

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1、2010年考研数学三真题一.选择题11x1.若lim[−(−a)e]=1则a=x→oxxA0B1C2D32.设y,y是一阶线性非齐次微分方程y′+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ,µ使12λy+µy是该方程的解，λy−µy是该方程对应的齐次方程的解，则12121111Aλ=,µ=Bλ=−,µ=−22222122Cλ=,µ=Dλ=,µ=33333.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且g′′(x)<0.若g(x)=a是g(x)的极值，则f(g(x))在x取00极大值的一个充分条件是Af′(a)<0Bf′(a)>0Cf′′(a)<0Df′′(a)>0x4设f(x)=ln10

2、x,g(x)=x,h(x)=e10则当x充分大时有Ag(x)sC若向量组II线性无关，则r≤sD若向量组II线性相关，则r>s26.设A为4阶实对称矩阵，且A+A=0，若A的秩为3，则A相似于1111AB1−1001−1−1−1CD

3、−1−1000,x<017.设随机变量X的分布函数F(x)=,0≤x<1，则P（X=1)=2−x1−e,x≥111−1−1A0BC−eD1−e228.设f(x)为标准正态分布概率密度，f(x)为[-1,3]上均匀分布的概率密度，若12af1(x),x≤0f(x)=(a>0,b<0)为概率密度，则a,b满足：bf(x),x≥02A2a+3b=4B3a+2b=4Ca+b=1Da+b=2二.填空题x+y2xdy−t29.设可导函数y=y(x),由方程edt=xsintdt确定，则=____________∫0∫0x=0dx110.设位于曲线y=(

4、e≤x<+∞)下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x2x(1+lnx)轴旋转一周所得空间区域的体积为____________311.设某商品的收益函数R(p),收益弹性为1+p，其中p为价格，且R(1)=1,则R(p)=________________3212.若曲线y=x+ax+bx+1有拐点(-1,0),则b=_____________−1−113.设A，B为3阶矩阵，且A=3,B=2,A+B=2，则A+B=_________14.设n212X1,X2,…X3是来自总体N(µ,σ)(σ>0)的简单随机样本。记统计量T=∑Xi,ni=1则ET=___________三.解答题1

5、115.求极限lim(xx−1)lnxx→+∞3216.计算二重积分∫∫(x+y)dxdy，其中D由曲线x=1+y与直线Dx+2y=0及x−2y=0围成。22217.求函数u=xy+2yz在约束条件x+y+z=10下的最大值和最小值。18.1n1n（1）比较∫lnt[ln(1+t)]dt与∫tlntdt(n=1,2,…)的大小，说明理由。001n（2）记u=lnt[ln(1+t)]dt(n=1,2,…),求极限limu.n∫n0n→∞19.设f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内存在二阶导数，且22f(0)=∫f(x)dx=f(2)+f(3)0（1）证明：存在η∈(0,2),

6、使f(η)=f(0);（2）证明：存在ξ∈(0,3),使f′′(ξ)=020λ11a设A=0λ−10,b=1.已知线性方程组Ax=b存在2个不同的解。11λ1（.1）求λ、a.(2)求方程组Ax=b的通解。0−14T21.设A=−13a，正交矩阵Q使得QAQ为对角矩阵，若Q的第一列为4a01T(1,2,1)，求a、Q.622−2x+2xy−y22.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=Ae,−∞

7、，2，3个。现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。（1）求随机变量（X,Y）的概率分布；（2）求Cov（X,Y）.答案：CABCADCA213π(p−1)9.-110.11pe312.313.314.σ2+µ24三解答题15.解：lnxlnxxln(e−1)xex1−lnxlnxlim=lim⋅,而当x→+∞,→0,lnx2x→∞lnxx→∞xxex−1lnxlnxxln(e−1)ex1−lnx1−lnx故lim=lim⋅=lim=−1x→+∞ln