考研数学三真题及答案

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1、2011年考研数学三真题一、选择题(1〜8小题，每小题4分，共32分。下列媒体给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。)(1)已知当兀t0时，/(%)=3sinx—sin3x与ex"是等价无穷小，贝!J(A)/c=l,c=4(B)Ze=1,c=-4(C)k=3,c=4(D)k=3,c=—4【答案】Co【解析】【方法一】..3sinx-sin3xf•3cosx-3cos3xlimx^Q=limx^QCkxk7o-sinx+3sin3x=3.n—j—-xuck(k-)xk-21ZT.-sinxt

2、.=-(--+-)=1eV22/(洛必达法则)(洛必达法则)3sin3Xy2x丿(k=3)由此得c=4O【方法二】由泰勒公式知x3sinx=%-—+o(xJ)」•(3x)3sin3x=3xF」■贝0/(%)=3sinx—sirtix=3%—y-3%+笃L+o(x3)=4%3+o(x3)〜4*(%t0)故/c=3,c=4。【方法三】3sinx—sin3x3sinx—3%+3%—sin3xlimvFlim%tOxk%->o(fc=3)故c=4综上所述，本题正确答案是C。【考点】高等数学一函数、极限、连续一

3、无穷小量的性质及无穷小量的比较，极限的四则运算高等数学元函数微分学一洛必达(LrHospital)法则⑵已知/•(>)在咒=0处可导，且/<0)=0,则如—0刊葺2心)=(A)-2f(0)(B)-f(0)(C)f(0)(D)0【答案】Bo【解析】【方法一】加项减项凑x=0处导数定义lim%t0=lim%->ox2f(x)-2f(x3)x2/(x)-x2/(0)-2/(%3)+2/(0)/(%)-/(O)/(x3)-/(0)=lim2兀to%x6=f(0)-2f(0)=-f(0)【方法二】拆项用导数定义

4、x2f(x)一2/(%3)lim%->ox5—2lim尢tO心)由于/(0)=0,由导数定义知/im—=广(0),=f(0)x->0xx->0X&所以limx^%2/(X)~2/(x3)=广(0)—2广(0)=-f(0)【方法三】排除法：选择符合条件的具体函数f(x)=x,则x2f(x)一2/(x3)x3—2x3lim=lim=—1尢tox5尢toX5而对于fO)=xf(0)=1,显然选项(A)(C)(D)都是错误的，故应选(B)【方法四】由于/'(兀)在兀=0处可导，则/(%)=f(0)+/z(0)

5、x+o(x)=ff(O)x+o(x)/(x3)=ff(0)x3+o(x3)x2f(x)一2/(x3)lim%->ox5x2[/,(0)x+o(x)]—2[/z(0)x3+o(x3)]=lim兀tox6=广(0)—2广(0)=—厂(0)综上所述，本题正确答案是B。【考点】高等数学一一元函数微分学一导数和微分的概念，导数和微分的四则运算(3)设似九｝是数列，则下列命题正确的是(A)若Sn=l^n收敛，贝'JEn=l(^2n-l+^2n)收敛。(B)若器=i(“2n-l+“2n)收敛，贝］ln=l^n收敛

6、。(C)若工器收敛，则Sn=l(u2H-l~^2n)收敛。(D)^En=l(^2n-l-^2n)收敛，贝］^n=lun收敛。【答案】Ao【解析】若力囂收敛，则该级数加括号后得到的级数仍收敛综上所述，本题正确答案是A。【考点】高等数学一无穷级数一级数的基本性质与收敛的必要条件JiJin(4)设/=Insinxdx,J=Incotxdx,K=Incosxdx,则/丿K的大小关系为(A)/V/VK(B)/VKV丿(C)丿V/VK(D)K<］<1【答案】Bo【解析】同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比

7、较被积函数大小，由于当0V%V勻寸，0Vsinx

8、P2Pi(A)P®(D)P斤【答案】Do【解析】本题是常规的初等变换、初等矩阵的考题矩阵的初等行变换是左乘初等矩阵，矩阵的初等列变换是右乘初等矩阵10O'100-110=B,001.001._010.B=E从而4Pi=时2〃=E,从而P2(APi)=E按题意4所以&=PjEPF=P2P11【考点】线性代数一矩阵一矩阵的初等变换，初等矩阵⑹设4为4x3矩阵，加血皿是非齐次线性方程组4兀="的3个线性无关的解，klfk2为任意常数，贝Mx=/?的通解为(A严