2010级研究生《数值分析》试卷答案.pdf

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1、2010级《数值分析》试卷答案一、填空题：1.U0.0002807或0.0002808U.2.1，0.3.U3.08U,U18.04U.4.U8U，U36U.fx()k15.xx3,1k,2,.kk1fx()k124e6.xx(1)(x2)（其中介于0,1,2,x之间）．34xxx22,123二、解：调整上述方程组的次序，得：23xxx63,123xxx254.123(1kk)1()()kxx12422x3,(1kk)1()()k据此建立Jacobi迭代公式：xx216233x3,(1kk

2、)1()()kxx31425x2,(1kk)1()()kxx12422x3,(1kk)1(1)()k和Gauss–Seidel迭代公式：xx216233x3,(1kk)1(1)(1k)xx31425x2.因为调整后的方程组的系数矩阵是严格对角占优的，所以据此建立的Jacobi迭代公式及()kGauss–Seidel迭代公式所产生的序列{x}都收敛。三、解：构造差商表xf()x一阶差商二阶差商三阶差商iix00fx()00x11fx()51fxx[,]015x22fx()62fxx[,

3、]112fxxx[,,012]2x3fx()3fxx[,]9fxxx[,,]5fxxxx[,,,]133231230123所求Newton插值多项式为p()xfxfxxxxfxxxxxxx()[,]()[,,]()()3001001201fxxxxxxxxxx[,,,]()()()012301205(0xx)2(0)(1xx)(0)(1x)(2x)235.xxx四、解：(1)因为两点Gauss型求积公式具有3次代数精度，所以上述求积公式若是Gauss型求23积公式，则当f()1,,,xxxx时，求积公式准确成立，由

4、此得：2,AA12x113,0,AxAx1122x13,解得22223Ax11Ax22,A11,0,Ax33Ax1122A21.1故所求两点Gauss型求积公式为fxxf()d11f.1331xx(2)对Iexsindx，被积函数为f()xexsin.1两点Gauss公式：1x1111exsindxexp3333sinexpsin0.665844；1Simpson公式：1x1(1)exsindxf(1)4(0)ff(1)161101ee

5、sin14sin0esin10.659265.332五、解：(1)f()xxx21，fx()3x2，Newton迭代公式：3fx()x21xkkkxxx,0k,1,.kk1k2fx()32xkk取初值x1.5，则033xx211.521.5100xx1.51.63158,102232x31.52033xx211.6315821.63158111xx1.631581.61818.21223x231.6315821(2)弦截法格式为xxkk1xxf()xkk1kfx()(

6、)fxkk1xxkk13xxkk3321xk,1k,2,.xxkk21xxk1121k取初值xx1.5,1.6，代入计算得：xx1.61996,1.61800.0123六、解：根据题意：m3,设拟合1次最小二乘多项式为：p()xccx101法方程组：33m1xiiyii00c0410c014333，即.c1030c40.9211xiixxiyiii00i0解得cc0.55,1.18.故所求多项式为

7、：01px()0.551.18x.1七、证：(1)设yyt()，则y()tf(,())xyt.nnnnn将y()t在t处作Taylor展开n1n2hyt()(yth)()ythyt()y()，ttnn1nnnn12!由Euler方法得yyhfty(,)()ythftyt(,())()ythyt()nn1nnnnnnn上面两式相减得2h2y()tyyO()(h),nn112于是p12p1，即Eul