(正)高等数学竞赛练习册答案.pdf

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1、全国大学生数学竞赛委员会关于举办第三届全国大学生数学竞赛的通知各省、市、自治区数学会、解放军院校协作中心数学联席会：为了培养人才、服务教学、促进高等学校数学课程的改革和建设，增加大学生学习数学的兴趣，培养分析、解决问题的能力，发现和选拔数学创新人才，为青年学子提供一个展示基础知识和思维能力的舞台，经中国数学会批准，第三届全国大学生数学竞赛由上海同济大学承办。经全国大学生数学竞赛委员会研究确定，本届比赛分区预赛在2011年10月29日（星期六）上午9：00—11：30举行，决赛于2012年3月份的第三周周六上午在同济大学举行。现将竞赛的具体事宜通知如下：（1）参赛对象：大学本科二年

2、级或二年级以上的在校大学生。竞赛分为非数学专业组和数学专业组(含数学与应用数学、信息与计算科学专业的学生)。数学专业学生不得参加非数学专业组的竞赛。（2）竞赛内容：非数学专业组竞赛内容为本科高等数学内容（高等数学内容为理工科本科教学大纲规定的高等数学的教学内容）。数学专业组竞赛内容含数学分析、高等代数和解析几何（均为数学专业本科教学大纲规定的教学内容），所占比重分别为50%、35%及15%左右。（3）奖项的设立：设赛区（一般以省、市、自治区作为赛区，军队院校为一个独立赛区）奖与全国决赛奖。赛区奖。按照重点学校与非重点学校，数学类专业与非数学类专业分别评奖。每个赛区的获奖总名额不超

3、过总参赛人数的15%（其中一等奖、二等奖、三等奖分别占各类获奖总人数的20%、30%、50%）。冠名为“第三届全国大学生数学竞赛（**赛区）*等奖”。决赛奖。参加全国决赛的总人数不超过300人。每个赛区参加决赛的名额不少于5名（其中数学类2名，非数学类3名）,由各赛区在赛区一等奖获得者中推选。最后入选名单由竞赛组织委员会批准。决赛阶段的评奖等级按绝对分数评奖。分区预赛和决赛的获奖证书均加盖“中国数学会普及工作委员会”的公章，获奖证书由承办单位统一印制。每份获奖证书，承办单位收取工本费5元。（4）命题、阅卷、评奖工作：分区预赛和决赛的试题由全国大学生数学竞赛委员会统一组织专家命题。

4、分区预赛的试卷印刷、保密、阅卷、评奖工作，由各个赛区统一安排，由各赛区的竞赛负责人统一部署。各赛区在考试结束后，当堂密封试卷，及时送交到赛区指定试卷评阅点集中阅卷。评奖工作由各赛区自行组织。决赛阶段的试卷印刷、保密、评阅工作在全国大学生数学竞赛委员会领导下，由承办单位组织进行。评奖工作由全国大学生数学竞赛委员会组织专家组评定。（5）决赛试题和获奖名单将在全国大学生数学竞赛网站上公布。中国数学会普及工作委员会二〇一一年五月十二日一、函数、极限、连续（竞赛大纲）1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3．复合函数、反函数、

5、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数间断点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1-1实值函数F(x)和G(x)都定义在整个实数轴上，并且满足limF(x)=p，limG(x)=q，x→ax→p讨论：是否有limG(F(x))=q，若成立则证明，若不成立，请

6、举例说明。x→a1-2设a>0，{xn}满足：1ax>0,x=(x+),n=0,1,2?,0n+1n2xn证明：{xn}收敛，并求limxn。n→∞1-3设xxxx>=0,2+=(n1,2,...)，试计算lim(11+++...1)。11nnn+n→∞xx12+11++xn13(1+xn)1-4设xx>==0,(n1,2,...)，求limx。11n+3+xnnn→∞n221-5求极限lim2sinn+cosn。n→∞1-6求极限limn1+bn+(b2/2)n(b>0)。n→∞n1-7设an=∑(nx+k)(nx+k+1)(x>0)，求liman。n→∞k=12005λλ1-

7、8求不等于0的数λ，使得I=limn/[n−(n−1)]=1/2006。n→∞n11-9设{an}满足lim∑ak=l，证明：n→∞nk=1（1）若limn(a−a)=0，则lima=l；nn−1nn→∞n→∞n（2）若liman=l，则I=lim∑k(ak−ak−1)/n=0。n→∞n→∞k=2xxsin(x)−sin(a)1-10求极限lim(a>1)。xxx→aax−aa1-11求极限I=limn[arctan[ln(n+1)]−arctan(lnn)]。n→∞1-12若有