高等数学竞赛练习册

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1、一、函数、极限、连续(竞赛大纲)1.函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2.函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.3.复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基木初等函数的性质及其图形、初等函数.4.数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5.无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6.极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7.函数的连续性(含左连续与右连续)、函数间断点的类型.8.连续函数的性质和初等函数的连续性.9.闭

2、区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).1-1实值函数F⑴和G(x)都定义在整个实数轴上,并且满足limF(x)=p,limG(x)=q，讨论：是否有limG(F(x))=q,若成立则证明，若不成立，请举例x->px->a说明。1-2设6/>0,｛xn｝满足：x0>0,xn+1=i(xn+—),斤=0,1,2…，2乙证明：｛占｝收敛，并求hmxljO>001・3设西>0,xrt+1=xrt2+xw(n=l,2,...),试计算lim(点+点+・・・+点)。>001ZfX1-4

3、设西〉0心+]=斗尹(>2=1,2,...),求lim£。5"TOO1-5求极限lim/2sin2/i+cos2noH—>001・6求极限1曲寸1+夕+@2/2)“(b〉0)。"TOO求lima”o”T8“1-7设an=》』(nx+k)(nx+k+1)(兀>0),心11-8求不等于0的数几，使得I=limn2005/[«A-(n-l/]=1/2006。n-xo1-9设｛a“｝满足lim丄yak=1,证明：(1)若lining-d“」)=0,则liman=Z；”T8n—>00(2)若hmaH=I

4、,贝U/=lim工-a—J加=0。"TOCZ?->00k=2ax-aa求极限I=lim7?[arctan[ln(«+1)]-arctan(lnn)]。n—若有数组｛如卫“…①｝满足念+细_+也+...+也斗ax123nn+1a”In"%+•••+血1十x+Inx+a()在(1,/)内必有一个零点。设兀"+兀=1在(0,1)中的根为an(/?gN),试证明：anT1(〃too)。(”+1)21“若旋’求吋。设勺>0,求lim寸d]"+勺“+…色”"“TooV"求£%的和，其中di=l，d”+l=1/

5、(%+。2+…+d”)一血。n=l―(l-7sinx)(l-vsinx)---(l-vsinx)limx->—2Incosax•arctan,]•J4HPln(l-2x)-lncos/?rlimtan^C—+—)“too4nlimsin(Wn2+1)"TOOlim"TOO设兀]=4,xn=—^―+-,求lim兀。^-12“TOO设fn(x)=Jl+xn+(^-y,x>0,求lim/(xjoV2"TOC竺也,MO7T1-24已知函数/(x)=cosix,求/(兀)的间断点，并说明其类型。sin—,x

6、>0x2-4二、一元函数微分学(竞赛大纲)1.导数和微分的概念、导数的儿何意义和物理意义、函数的可导性与连续性Z间的关系、平面曲线的切线和法线.2.基木初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.5.微分屮值定理，包括罗尔定理、拉格朗日屮值定理、柯西屮值定理和泰勒定理.6.洛必达(L‘Hospital)法则与求未定式极限.7.函数的极值、函数单调性、函数图形

7、的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.2-1设函数f具有一阶连续导数，厂(0)存在，且广(0)=0,/(0)=0,戶，"g(x)=

8、节竺=°。证明:大tOe-1函数/(兀)在点兀=0处可导，并求广(0)。2-4设函数/(x)=(l+x)*(x>0),证明：存在常数A、B,使得当xtO卜时，恒有/⑴之+Ax+B/+o(兀2),并求常数a、Bo1-5设/(x)在(-oo,+8)内二阶可导,FL.广⑴h0o(1)证明:对于任何非零实数X,存在唯一的^(x)(0<0(x)<1),使得f(x)=/(0)+xff(x0(x))o(2)求lim^(x)oxtO1-6求使不等式(1+静心"<(1++)心对所有的自然数川都成立的