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《吴赣昌编_概率论与数理统计_第4章.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第四章随机变量的数字特征、极限定理数学期望方差协方差和相关系数大数定律与中心极限定理4.1数学期望一、离散型随机变量的数学期望例4.1甲、乙两射手进行射击训练，已知在100次射击中命中环数与次数记录如下：环数8910次数301060环数8910次数205030甲乙试问如何评定甲、乙射手的技术优劣？甲平均射中的环数为：乙平均射中的环数为：(8×30+9×10+10×60)÷100=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3(环)(8×20+9×50+10×30)÷100=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1(环)因此从平均射中的环数看，甲的技术优于乙。在例4.1
2、中，30/100=0.3、10/100=0.1、60/100=0.6等，是事件(X=k)在100次试验中发生的频率(X为命中的环数)，当射击次数相当大时，这个频率接近于事件(X=k)在一次试验中发生的概率pk。上述平均环数的计算可表示为我们称之为随机变量X的数学期望，或均值。数学期望——描述随机变量取值的平均特征定义4.1设X是离散型随机变量，其分布律为X~P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n，…如果级数绝对收敛，并称级数的和为随机变量X的数学期望，记作则称X的数学期望存在，E(X)，即则称随机变量X的数学期望不存在。注意：随机变量X的数学期望E(X)完全是由X的分
3、布律确定的，而不应受X的可能取值的排列次序的影响，因此要求级数绝对收敛。若级数不绝对收敛，例如，设离散型随机变量X的分布律为X-2-1012Pk1/162/163/162/168/16则X的数学期望为例4.2掷一颗均匀的骰子，以X表示掷得的点数，求X的数学期望。解X的分布律为X123456Pk1/61/61/61/61/61/6例4.4设X取(k=1,2,…)对应的概率为，证明E(X)不存在。证明且但级数发散所以E(X)不存在，但级数(交错级数满足Leibniz条件)(收敛)要注意数学期望的条件：“绝对收敛”。定义4.2设X是连续型随机变量，概率密度函数为f(x),二、
4、连续型随机变量的数学期望若积分绝对收敛，则称X的数学期望存在，且称积分为随机变量X的数学期望，记为E(X)即数学期望简称期望或均值。例6：几种重要分布的数学期望三、随机变量函数的数学期望定理4.1设随机变量Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g(•)为连续函数)(1)设X为离散型随机变量，其分布律P(X=xi)=pi,i=1,2,…若级数绝对收敛，则Y的数学期望存在，且(2)设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，若积分绝对收敛，则Y的数学期望存在，且此定理说明，在求随机变量X的函数Y=g(X)的期望时，不必知道Y的分布而只需知道X的分布即可。推广：设(X,Y)是二
5、维随机变量，Z=g(X,Y)，g(•,•)是连续函数。(1)设(X,Y)是离散型随机变量，分布律为P(X=xi,Y=yj)=pij，i,j=1,2,…则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且(2)设(X,Y)是连续型随机变量，概率密度为f(x,y)，则当绝对收敛时，Z的数学期望存在，且二维随机变量的数学期望离散r.v.连续r.v.例4.7设随机变量X~B(n,p)，求E(Y)解X~B(n,p)，分布律为其中p+q=1例4.8设二维随机变量(X,Y)具有概率密度设Z=XY，试求Z的数学期望。解O1xy1y=x1、设C是常数，则E(C)=C;2、设C是常数，X为随机变量，则E(
6、CX)=CE(X);四.数学期望的性质3、设X,Y为任意两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y);推广：Xi为随机变量，Ci为常数，i=1,2,…,nE(C1X1+C2X2+…+CnXn)=C1E(X1)+C2E(X2)+…+CnE(Xn)4、若X，Y是相互独立的随机变量，则E(XY)=E(X)E(Y)。推广：X1,X2,…,Xn相互独立，则E(X1X2…Xn)=E(X1)E(X2)…E(Xn)反之不然，即由E(XY)=E(X)E(Y)不能推出它们独立。例1：已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3
7、件产品放入乙箱中，求乙箱中次品件数的数学期望。例2：已知0，其它求随机变量的数学期望E(X).例3：设随机变量X的分布列为：求：X-202P0.40.30.3例4：设随机变量X的密度函数：f(x)=0,其它对随机变量X独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于的次数，求EY例5：设（X,Y）分布列为：(1)求E(X),E(Y);(2)设Z=X/Y，求E(Z);(3)设，求E(Z)XY123-10.20.1000.100.310.10.10.1例6：设（X,Y）的密度函数：f(x,y)=0其它求：E(X),E(Y),E(XY),4.2方差一、方
