吴赣昌编 概率论与数理统计 第6章(new)4zhong.ppt

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1、第六章参数估计参数的点估计估计量的评选标准正态总体参数的区间估计6.1参数的点估计一、参数估计的概念问题的提出：已知总体X的分布函数F(x;θ1,θ2,…,θk)，其中θ1,θ2,…,θk是未知参数，现从该总体中随机地抽样，得到一个样X1,X2,…,Xn，再依据该样本对参数θ1,θ2,…,θk作出估计,或者估计参数的某个已知函数。点估计：用某个函数值作为总体未知函数的估计值区间估计：对未知参数给出一个范围，并给出在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数的真值。由于现用它来估计未知参数，故称这种估计为点估计。是实数域上的一个点，作为参数θi的估计

2、，称为参数θi的估计量。在不致混淆的情况下，估计量、估计值统称估计，记为样本(X1,X2,…,Xn)的一组取值(x1,x2,…,xn)称为样本观察值，将其代入估计量，得到数值称为参数θi的估计值。点估计：由总体的样本(X1,X2,…,Xn)对每一个未知参数θi(i=1,2,…,k)构造统计量点估计的经典方法是：(1)矩估计法(2)极大似然估计法二、矩估计法(简称“矩法”)英国统计学家皮尔逊(K.pearson)提出1、矩法的基本思想：以样本矩作为相应的总体同阶矩E(Xk)的估计(P159)；以样本矩的函数作为相应的总体矩的同一函数的估计.2、矩

3、法的步骤：设总体X的分布为F(x;θ1,θ2,…,θk)，k个参数θ1,θ2,…,θk待估计，(X1,X2,…,Xn)是一个样本。(1)计算总体分布的i阶原点矩E(Xi)=μi(θ1,θ2,…,θk)，i=1,2,…,k，(计算到k阶矩为止，k个参数)；(2)列方程从中解出方程组的解，记为则分别为参数θ1,θ2,…,θk的矩估计。例6.1设总体X的均值为μ，方差为σ2，均未知。(X1,X2,…,Xn)是总体的一个样本，求μ和σ2的矩估计。解解得矩法估计量为注：例6.2设总体X~P(λ)，求λ的矩估计。解例6.3设(X1,X2,…,Xn)来自X的

4、一个样本，且求a,b的矩估计。解X~U(a,b)解得矩估计为2阶中心矩矩法估计的优点：计算简单；矩法估计的缺点：(1)矩法估计有时会得到不合理的解；(2)求矩法估计时，不同的做法会得到不同的解；(通常规定，在求矩法估计时，要尽量使用低阶矩)如例6.2中，若不是用1阶矩，而是用2阶矩与不同(3)总体分布的矩不一定存在，所以矩法估计不一定有解。如先看一个简单例子：一只野兔从前方窜过.是谁打中的呢？某位同学与一位猎人一起外出打猎.如果要你推测，你会如何想呢?只听一声枪响，野兔应声倒下.二、极大似然估计法(R.A.Fisher费歇)1、极大似然估计法的

5、基本思想一般说，事件A发生的概率与参数有关，取值不同，则P(A)也不同。因而应记事件A发生的概率为P(A

6、)。若A发生了，则认为此时的值应是在中使P(A

7、)达到最大的那一个。这就是极大似然思想。使得取该样本值发生的可能性最大。由样本的具体取值，选择参数θ的估计量例6.4设总体X服从0—1分布，即分布律为x=0,1，其中0<θ<1未知(X1,X2,…,Xn)为X的一个样本，设其观察值为(x1,x2,…,xn)，则事件(X1=x1,X2=x2,…,Xn=xn)发生的概率为对于给定的样本观察值，上述概率为θ的函数，称其为似然函数，并记

8、为L(θ)，即为使上述随机事件的概率达到最大，应选取使L(θ)达到最大的参数值(如果存在)，即选取的应满足对每一样本值(x1,x2,…,xn)，在参数空间内使似然函数L(x1,x2,…,xn;θ)达到最大的参数估计值,称为参数θ的极大似然估计值，它满足称统计量为参数θ的极大似然估计量。记为2、似然函数与极大似然估计设则称为该总体X的似然函数。3、求极大似然估计的步骤(P161)设总体X的分布中，有m个未知参数θ1,θ2,…,θm，它们的取值范围。样本的观测值为(1)写出似然函数的表达式如果X是离散型随机变量，分布律为P(X=k)，则如果X是

9、连续型随机变量，密度函数为f(x)，则(2)在内求出使得似然函数L达到最大的参数的估计值它们就是未知参数θ1,θ2,…,θm的极大似然估计。一般地，先将似然函数取对数lnL，然后令lnL关于θ1,θ2,…,θm的偏导数为0，得方程组从中解出在例6.4中，解得它使lnL(θ)最大所以θ的极大似然估计量为例6.5(X1,X2,…,Xn)是来自总体X~P(λ)的样本，λ>0未知，求λ的极大似然估计量。解总体X的分布律为x=1,2,…设(x1,x2,…,xn)为样本(X1,X2,…,Xn)的一个观察值，似然函数对数似然函数是λ的极大似然估计值,λ的极

10、大似然估计量为所以例6.6设(X1,X2,…,Xn)是来自正态总体X~N(μ,σ2)的一个样本，μ,σ2未知，求μ,σ2的极大似然估计。解设(x1,x