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1、第一章微积分基础函数极限—研究对象—研究工具函数与极限微积分的主要包括：函数、极限、连续、 导数（微分）、积分、级数第一章二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数元素a属于集合M,记作元素a不属于集合M,记作一、集合1.定义及表示法定义1.具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成集合的事物称为元素.不含任何元素的集合称为空集,记作.(或).注:M为数集表示M中排除0的集;表示M中排除0与负数的集.只含有限个元素的集合，称为有限集不是有限集的集合，称为无限集表元素.表集合.通常：表示法：(1)列举法：按某种方式列出集合中的全体元素.例:有限集合自然数集(2)描述法：x所具有的特征
2、例:整数集合或有理数集实数集合x为有理数或无理数开区间闭区间半开区间上述区间,称为有限区间.a与b称为区间端点.两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.无限区间负无穷大正无穷大点的邻域其中,a称为邻域中心,称为邻域半径.去心邻域左邻域:右邻域:是B的子集,或称B包含A,2.集合之间的关系及运算定义2.则称A若且则称A与B相等,例如,,,若设有集合记作记作必有若但则称A是B的真子集,记作显然有下列关系:定义3.给定两个集合A,B,并集交集且差集且定义下列运算:余集直积特例:记为平面上的全体点集或全集or基本集集合运算满足下列法则:设A、B、C为任意三个集合，则(1).交换律：(
3、2).结合律：(3).分配律：(4).对偶律：证明略二、映射1.映射的概念某校学生的集合学号的集合按一定规则查号某班学生的集合某教室座位的集合按一定规则入座引例1.定义4.设X,Y是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作元素y称为元素x在映射f下的像,记作元素x称为元素y在映射f下的原像.集合X称为映射f的定义域;Y的子集称为f的值域.注意:映射的三要素—定义域,对应规则,值域.任意对映射若,则称f为满射;若有则称f为单射;若f既是满射又是单射,则称f为双射或一一映射.例1如图所示,对应阴影部分的面积则在数集自身之间定义了一种映射(满射)如
4、图所示,则有(满射)例22.逆映射与复合映射(1)逆映射的定义定义:若映射为单射,则存在一新映射使习惯上,的逆映射记成其中称此映射为f的逆映射.(2)复合映射手电筒D引例.复合映射定义.则当由上述映射链可定义由D到Y的复设有映射链记作合映射,时,或构成复合映射的条件不可少例4,映射链:可定义复合映射以上定义也可推广到多个映射的情形.定义域三、函数1.函数的概念定义4.设数集则称映射为定义在D上的函数,记为自变量因变量f(D)称为值域(对应规则)(值域)(定义域)对应规律的表示方法:解析法、图象法、列表法自然定义域使表达式及实际问题都有意义的自变量集合.如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应
5、的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．值域例5判别下列函数对是否相等：（1）（2）相等不相等函数的两要素定义域对应关系例6,反正弦主值定义域值域函数图形:例7,绝对值函数定义域值域例8.已知函数求及解:函数无定义并写出定义域及值域.定义域值域分段函数2.函数的几种特性设函数且有区间(1)有界性有称在I上有界.M-Myxoy=f(x)I有界无界M-MyxoX否则,称在I上无界.说明:还可定义有上界、有下界(见上册P11)使若对任意正数M,均存在则称f(x)在I上无界.称为有上界称为有下界存在例9是有界的函数。在而在内有界。函数无界，无上界.(2)单调性当时,称为I上的单
6、调增函数;称为I上的单调减函数.例函数(3)奇偶性且有若则称f(x)为偶函数;若则称f(x)为奇函数.偶函数yxox-x奇函数yxox-x偶函数的图形是关于y轴对称；奇函数的图形是关于原点对称。例如,偶函数双曲余弦记说明:在x=0有定义,为奇函数时,则当必有若又如,奇函数双曲正弦记再如,奇函数双曲正切记例10设函数f(x)定义在则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和。易知是一个偶函数，而是一个奇函数，而且命题为真。解记(4)周期性且则称为周期函数,若称l为周期(一般指最小正周期).周期为周期为例求y=cos4x的周期。解函数的周期为注:周期函数不一定存在最小正周期.例如,常量函数狄
7、里克雷函数x为有理数x为无理数例指出的周期。(作为练习)有理数点无理数点•1xyo3.反函数与复合函数(1)反函数的概念及性质若函数为单射,则存在逆映射习惯上,的反函数记成称此映射为f的反函数.例11求的反函数。解我们把原式变形成即2)函数与其反函数的图形关于直线对称.例如,对数函数互为反函数,它们都单调递增,其图形关于直线对称.指数函数其反函数(减)(减).1)y＝f(x)单调递增且也单调递增性质:例如,函
