《映射与函数》ppt课件

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1、第一节映射与函数一、集合二、映射三、函数一、集合1、集合概念所谓集合(或集)是具有某种特定性质的事物的全体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.由有限个元素组成的集合，可用列举出它的全体的方法来表示.凡事物a是集合A的元素记作：；凡事物a不是集合A的元素记作：；由无穷多个元素组成的集合，通常用如下记号表示：设M是具有某种性质P的元素x全体组成的，就可表示成：以后如果没有特别声明，提到的数都是实数.全体自然数的集合记作N，即全体实数的集合记作R，为排除零的实数集为全体正实数的集.全体正整数的集合为全体整数的集合记作Z，即全体有理数的集合记作Q数集:元素都是数的集合.子集:设A

2、、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作(读作A包含于B)或(读作B包含A).相等:如果集合A与集合B互为子集，即且,就称集合A与B相等，记作A=B.例如，设A={1,2}，B={2,1}，C={x

3、x2-3x+2=0}则A=B=C.真子集：若且，则称A是B的真子集，记作空集:不含任何元素的集合称为空集，记作.且规定空集为任何集合的子集，即由所有既属于A又属于B的元素组成的集合，称为A与B的交集(简称交)，记作AB，即AB={x

4、xA且xB};2、集合的运算集合的基本运算有以下几种：并、交、差.设A、B是两个集合，由所有属于A或者属于B的集合

5、，称为A与B的并集(简称并)，记作AB，即AB={x

6、xA或xB}；由所有属于A而不属于B的元素组成的集合，称为A与B的差集(简称差)，记作AB，即AB={x

7、xA且xB}.有时，我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行，所研究的其他集合A都是I的子集.此时，我们称集合I为全集或基本集，IA为A的余集或补集，记作.例如，在实数集R中，集合A={x

8、0

9、x0或x>1｝.集合的并、交、余运算满足下列法则。(1)交换律ＡＢ＝ＢＡ，ＡＢ＝ＢＡ；(2)结合律(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(ＢＣ），(ＡＢ)Ｃ＝Ａ(BC)；(4)对偶律(AB)c=AcBc，(AB)c=A

10、cBc.(3)分配律(AB)C=(AC)(BC)，(AB)C=(AC)(BC)；3、区间和邻域区间是用得较多的一类数集，设a和b都是实数，且a

11、a

12、a

13、axb}.称为闭区间，记作[a,b]，即[a,b]={x

14、axb}.a和b也称为闭区间[a,b]的端点，这里a[a,b]，b[a,b].类似地可说明：[a,b)={x

15、ax

16、a

17、间.数b–a称这些区间的长度.类似地可以表示无限区间，例[a,+)={x

18、xa},(－,b)={x

19、x

20、,即y=f(x)或f(X),即=f(X)={f(x)

21、xX}.注意：1、构成一个映射必须具备以下三个要素：集合X，即定义域;集合Y，即值域的范围：；对应法则f，使对每个，有唯一确定的y=f(x)与之对应．2、对每个，元素x的像y是唯一的；而对每个，元素y的原像不一定是唯一的；映射f的值域是Y的一个子集，即，不一定．例1设f:RR,对每个xR,f(x)=．显然，f是一个映射，f的定义域=R，值域={y

22、y0}它是R的一个真子集．对于中的元素y，除y=0外，它的原像不是唯一的，如y=4的原像就有x=2和x=－2两个．例2设X={(x,y)

23、+=1}，Y={(x,0)

24、

25、x

26、1}

27、，f:XY，对每个(x,y)X，有唯一确定的(x,0)Y与之对应．显然f是一个映射，f的定义域=X，值域=Y．在几何上，这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[–1,1]上．例3设f:[–,][–1,1]，对每个x[–,]，f(x)=sinx．这f是一个映射，其定义域=[–,]，值域=[–1,1]．设f是从集合X到集合Y的映射，若=Y，即Y中任一元素y都是X中某元素的像，则称f为X到Y上的映射或满射；若对X中任意两个不同元，它们的像，则称f为X到Y的单射；若f映射既是单射，又是满射，则称