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1、§2.1.1函数与映射(一)1.函数(1)传统定义：如果在某个变化过程中有两个变量x,y，并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有惟一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，记作y=f(x)(2)近代定义:设A,B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)
2、x
3、∈A}叫做函数的值域.2021/8/322.映射设A，B是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的任何一个元素，在集合B中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到集合B的映射，记作f:A→B.给定一个集合A到B的映射，且a∈A,b∈B.如果元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象.设f:A→B是集合A到集合B的一个映射.如果在这个映射下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象，而且B中每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射.2021/8/333.函数的三要素
4、函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊映射.4.函数的表示法：解析式法、列表法、图象法.5.能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域.求函数定义域的主要依据是:(1)分式的分母不等于0;(2)偶次方根的被开方数不小于0;(3)对数式的真数必须大于0;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1。6.如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合。2021/8/347.区间是数学中常用的术语与符号，它包括开区间(a,b)，闭区间[a,b]，半开半闭区间[a
5、,b)，(a,b].其中a、b分别为区间的左端点、右端点，b-a为区间长度，无穷大∞是个符号而不是一个数。用+∞或-∞作为区间的端点，表示无穷区间，并且只能用开区间的形式。2021/8/351.已知映射f:A→B,其中集合A={-3,-2,-1,0,1,2,3,4},集合B中的元素都是A中元素在映射f下的象,且对任意a∈A,在B中和它对应的元素是
6、a
7、,则集合B中元素的个数是()A.4B.5C.6D.7B2.函数的定义域是___________(-∞,-1]基础训练2021/8/363.设函数，则x0的取值范围是()A.(-1，1)B
8、.(-1，+∞)C.(-∞，-2)∪(0，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)D4.定义域为｛-2,-1,0,1,2｝的函数f(x)满足f(±2)=1,f(±1)=2,f(0)=0,则()A.f(x)无最值B.f(x)是偶函数C.f(x)是增函数D.f(x)有反函数B2021/8/37A．0个B．1个C．2个D．3个5.四个图形中，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有()2021/8/38【解析】根据函数的定义：“集合M中的任一元素，在对应法则f作用下，在集合N中都有唯一元素与之对应.”由此逐一进行判断.对于图a：M中属于（1
9、，2］的元素，在N中没有象，不符合定义；对于图b：符合M到N的函数关系；对于图c：M中有一部分的元素的象不属于集合N，因此它不表示M到N的函数关系；对于图d：其象不唯一，因此也不表示M到N的函数关系.由上分析可知，应选B.2021/8/39C6.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为:明文a，b，c，d对应密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d.例如，明文1,2,3,4对应密文5,7,18,16.当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密得到的明文为()A
10、．4,6,1,7B．7,6,1,4C．6,4,1,7D．1,6,4,72021/8/310例1.设映射f：x→-x2+2x是实数集M到实数集N的映射，若对于实数p∈N，在M中不存在原象，则p的取值范围是（）A．(1,+∞)B．［1,+∞)C．(-∞,1)D．(-∞,1］2021/8/311【解析】法1：由题意，要使p存在原象，则方程-x2+2x=p有实根；若不存在，方程x2-2x+p=0无实根，即Δ=4-4p＜0，得p＞1，∴应选A【答案】A法2：∵-x2+2x=-(x-1)2+1，即M中元素对应的象的取值范围是(-∞,1］.
11、∴应选A.2021/8/312【小结】对于映射f：A→B的理解要抓住以下三点：(1)集合A、B及对应法则f是确定的，是一个整体，是一个系统；(2)对应法则f具有方向性，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应
