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1、高等数学胡灵芝数学教研室数学是科学的女王第一章函数与极限1-1函数数集D叫做这个函数的定义域因变量自变量1.1函数概念自变量因变量对应法则f函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.三、函数的特性M-Myxoy=f(x)X有界无界M-MyxoX1．函数的有界性:2．函数的奇偶性:偶函数yxox-x奇函数yxox-x3．函数的单调性:xyoxyo4．函数的周期性:（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.四、反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.1.2初等函数1.幂函数一、基本初等函数2.指数函数3.对数函数4.三角函
2、数正弦函数余弦函数正切函数余切函数正割函数余割函数5.反三角函数幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.二、复合函数在实际问题中，有很多比较复杂的函数是由几个比较简单的函数“叠置”而成的，如在简谐振动中位移y与时间t的函数关系就是由三角函数和线性函数“叠置”而成的，定义:注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;——复合条件复合函数的定义域复合条件在实际应用时常取形式内层函数的值域落在外层函数的定义域之内2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.三.初等函数由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构
3、成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.例如：都是初等函数练习题一、填空题:练习题答案1.3极限极限的概念概念的引入割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽播放播放完毕,单击此处返回一、数列的极限数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数如果数列没有极限,就说数列是发散的.1.唯一性定理1每个收敛的数列只有一个极限.[分析]直接证明较困难，采用反证法由数列极限的几何意义，在a的任一ε邻域内聚集着xn中的无穷多个点，而在该邻域之外至多有xn中的有限个点数列极限的性质证
4、用反证法a≠b不妨设a＜b矛盾，这说明结论成立2.有界性例如,有界无界定理2收敛的数列必定有界.证由定义,注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.二、函数的极限关于函数的极限，根据自变量的变化过程，我们主要研究以下两种情况：一、当自变量x的绝对值无限增大时，f(x)的变化趋势，二、当自变量x无限地接近于x0时，f(x)的变化趋势1、自变量趋向无穷大时函数的极限播放返回通过上面演示实验的观察:问题:如何用精确的数学数学语言刻划函数“无限接近”.2.另两种情形:3.几何解释:2、自变量趋向有限值时函数的极限先看一个例子这个函数虽在x=1处无定义，但从它
5、的图形上可见，当点从1的左侧或右侧无限地接近于1时，f(x)的值无限地接近于4，我们称常数4为f(x)当x→1时f(x)的极限。1xyo4例2证明证于是恒有3.单侧极限:例如,左极限右极限例证左右极限存在但不相等,函数极限的性质1.局部有界性2.唯一性3.保号性三、无穷小量与无穷大量在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理论价值，值得我们单独给出定义。1、无穷小极限为零的变量称为无穷小.例如,注意1.称函数为无穷小，必须指明自变量的变化过程；2.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;3.零是可以作为无穷小的唯一的数.无穷小与函
6、数极限的关系:证必要性充分性意义1.将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);无穷小的运算性质:定理2在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.定理3有界函数与无穷小的乘积是无穷小.推论1在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.推论2常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3有限个无穷小的乘积也是无穷小.都是无穷小2、无穷小的比较与阶无穷小的比较例如,观察各极限不可比.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.定义:常用等价无穷小:注上述10个等价无穷小（包括反、对、幂、指、三）必须熟练掌握用等价无穷小可给出函数的近似表达式:一般地有即α与β等价α与β互
7、为主要部分例如,等价无穷小替换定理(等价无穷小替换定理)证意义求两个无穷小之比的极限时，可将其中的分子或分母或乘积因子中的无穷小用与其等价的较简单的无穷小代替，以简化计算。具体代换时，可只代换分子，也可只代换分母，或者分子分母同时代换。例3解注意不能滥用等价无穷小代换.对于代数和中各无穷小不能分别替换.例4解错解例5解3、无穷大极限值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．注意1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;3.无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小;恒不为零的无穷小
8、的倒数为无
