【创新设计】2011届高三数学一轮复习 2.5 反函数课件 文 大纲人教版.ppt

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1、2011届高三数学文大纲版创新设计一轮复习课件：2.5反函数【考纲下载】了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系，会求一些简单函数的反函数，能利用互为反函数的两函数的关系解题.第5讲反函数反函数得到式子x＝φ(y)，如果对于y在C中的任何一个值，通过式子x＝，x在A中都有和它对应，那么式子x＝φ(y)就表示，这样的函数叫做函数y＝f(x)的反函数．记作，即．一般对调x＝f－1(y)中的字母x，y把它改写成．唯一确定的值x是自变量y的函数x＝f－1(y)x＝φ(y)＝f－1(y)y＝f－1(x)φ(y)1．概念：若函数y＝f

2、(x)的定义域为A，值域为C，从式子y＝f(x)中解出x，2．存在条件：只有从定义域到值域上所确定的函数才有反函数．3．与原函数的关系：(1)反函数实质上是原函数的自变量和对调．(2)反函数的定义域和值域分别是原函数的．(3)互为反函数的两个函数具有的单调性，它们的图象关于对称．4．求法：(1)由y＝f(x)解出；(2)将x＝f－1(y)中的x与y，得y＝f－1(x)；(3)由y＝f(x)的值域，写出．一一对应值域和定义域因变量相同直线y＝xx＝f－1(y)互换位置y＝f－1(x)的定义域提示：(1)在定义域上单调的函数必有反函数

3、．(2)凡是周期函数都没有反函数．(3)指数函数与对数函数(同底)是典型的互为反函数的函数，如：y＝ax与y＝logax(a>1且a≠1)．1．(2009·全国Ⅱ)函数y＝(x≤0)的反函数是()A．y＝x2(x≥0)B．y＝－x2(x≥0)C．y＝x2(x≤0)D．y＝－x2(x≤0)解析：由y＝得－x＝y2(y≥0)，∴反函数为：y＝－x2(x≥0)．答案：B2．记函数y＝3－x的反函数为y＝g(x)，则g(9)等于()A．2B．－2C．3D．－1解析：由3－x＝9，得x＝－2.答案：B3．若函数y＝f(x)的反函数图象过点(

4、1,5)，则函数y＝f(x)的图象必过点()A．(1,1)B．(1,5)C．(5,1)D．(5,5)答案：C4．函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3x(x>0)的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝________.解析：由y＝log3x(x>0)，得：x＝3y(x>0)，∴f(x)＝3x.答案：(1)求反函数时，首先应考虑原函数的定义域和值域，并且要在反函数后面写上反函数的定义域(即原函数的值域)．(2)分段函数的反函数仍是分段函数，要分段来求，一般的是把各分段上的函数看作独立函数，分别求出它们的反函数，然后再拼合到一起，求

5、得的反函数一定要标明其定义域．【例1】求下列函数的反函数．(1)y＝－(x≥1)；(2)y＝解：(1)∵x≥1，∴y＝－≤0.由y＝－，得y2＝x2－1，∴x2＝1＋y2，∵x≥1，∴x＝(y≤0)，∴f－1(x)＝(x≤0)．(2)∵x<0时，y＝x＋1，∴x＝y－1，∵x<0，∴y<1，∴f－1(x)＝x－1(x<1)，又x≥0时，y＝ex，∴x＝lny．∵x≥0，∴y≥1，∴f－1(x)＝lnx(x≥1)，∴y＝f－1(x)＝互为反函数的两函数图象关于直线y＝x对称，其中任一图象的任一点关于直线y＝x的对称点必在另一函数的图

6、象上，利用这一性质，有时能达到事半功倍的功效．【例2】函数f(x)＝，函数g(x)的图象与函数y＝f－1(x＋1)的图象关于直线y＝x对称，求g(5)．思维点拨：可以先解出f－1(x)，再解出f－1(x＋1)，也可以利用反函数对应的意义求f－1(x＋1)．解：解法一：∵y＝f－1(x＋1)，∴f(y)＝f[f－1(x＋1)]＝x＋1，∴x＝f(y)－1，∴y＝f－1(x＋1)的反函数是y＝f(x)－1，即g(x)＝f(x)－1，g(5)＝f(5)－1＝－.解法二：即f－1(x)＝，f－1(x＋1)＝，再求反函数，即故变式2：若函数

7、f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝________.解析：依题意得f(x)＝f－1(x)．因为f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在f(x)的图象上，则点(b，a)必在f－1(x)的图象上，从而点(b，a)也在f(x)的图象上．因f(x)的图象过点，故点也在f(x)的图象上，于是.答案：－2【例3】已知a∈R，b∈R，f(x)为奇函数，且f(2x)＝.(1)求f(x)的反函数f－1(x)及其定义域；(2)设g(x)＝，若x∈，f－1(x)≤g(x)恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)由f

8、(2x)＝，得f(x)＝.∵f(x)是R上的奇函数，∴f(0)＝＝0，得a＝1.又∵f(－1)＝－f(1)，∴b＝1，∴f(x)＝，得f－1(x)＝log2.由此得2x＝>0，∴－1