高考数学一轮复习 2.5 反函数教案

《高考数学一轮复习 2.5 反函数教案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、2.5反函数●知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（x∈A）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（y∈C）叫做函数y=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f－1（y）.在函数x=f－1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f－1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f－1（x）.2.互为反函数的

2、两个函数y=f（x）与y=f－1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称.3.求反函数的步骤：（1）解关于x的方程y=f（x），得到x=f－1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f－1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域〔即函数y=f（x）的值域〕.●点击双基1.（2005年北京东城区模拟题）函数y=－（x≠－1）的反函数是A.y=－－1（x≠0）B.y=－+1（x≠0）C.y=－x+1（x∈R）D.y=－x－1（x∈R）解析：y=－（x≠－1）x+1=－x=－1－.x、y交换位置，得y=－1－.答案：A2.函数

3、y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数为A.y=2x－1－1（x＞1）B.y=2x－1+1（x＞1）C.y=2x+1－1（x＞0）D.y=2x+1+1（x＞0）解析：函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的值域为{y

4、y＞1}，由y=log2（x+1）+1，解得x=2y－1－1.∴函数y=log2（x+1）+1（x＞0）的反函数为y=2x－1－1（x＞1）.答案：A3.函数f（x）=－（x≥－）的反函数A.在［－，+∞）上为增函数B.在［－，+∞）上为减函数C.在（－∞，0］上为增函数D.在（－∞，0］上为减函数解析：函数f（x）=－（x

5、≥－）的值域为{y

6、y≤0}，而原函数在［－，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数.答案：D4.（2005年春季上海，4）函数f（x）=－x2（x∈（－∞，－2］）的反函数f－1（x）=______________.解析：y=－x2（x≤－2），y≤－4.∴x=－.x、y互换，∴f－1（x）=－（x≤－4）.答案：－（x≤－4）5.若函数f（x）=，则f－1（）=___________.解法一：由f（x）=，得f－1（x）=.∴f－1（）==1.解法二：由=，解得x=1.∴f－1（）=1.答案：1评述：显然解法二更简便.●典

7、例剖析【例1】设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为A.［0，+∞）B.（－∞，0］C.［0，2）D.（－2，0］解析：f（4－x2）=－log2（4－x2）.x∈（－2，0］时，4－x2单调递增；x∈［0，2）时，4－x2单调递减.答案：C深化拓展1.若y=f（x）是［a，b］上的单调函数，则y=f（x）一定有反函数，且反函数的单调性与y=f（x）一致.2.若y=f（x），x∈［a，b］（a＜b）是偶函数，则y=f（x）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f（x）=的反函数.解：当x≤－1时，y=x2＋1≥2

8、，且有x=－，此时反函数为y=－（x≥2）.当x＞－1时，y=－x+1＜2，且有x=－y+1，此时反函数为y=－x+1（x＜2）.∴f（x）的反函数f－1（x）=评述：分段函数应在各自的条件下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数.【例3】已知函数f（x）是函数y=－1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数y=的图象关于直线y=x－1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）.（1）求F（x）的解析式及定义域.（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与y轴垂直?若存在，求出A、B两

9、点坐标；若不存在，说明理由.解：（1）由y=－1（x∈R），得10x=，x=lg.∴f（x）=lg（－1＜x＜1）.设P（x，y）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线y=x－1的对称点P′的坐标为（1+y，x－1）.由题设知点P′（1+y，x－1）在函数y=的图象上，∴x－1=.∴y=，即g（x）=（x≠－2）.∴F（x）=f（x）+g（x）=lg+，其定义域为{x

10、－1＜x＜1}.（2）∵f（x）=lg=lg（－1+）（－1＜x＜1）是减函数，g（x）=（－1＜x＜1）也是减函数，∴F（x）在（－1，1）上是减函数.故不存在这样两个不同点A

11、、B，使直线AB恰好与y轴垂直.评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了.深化拓