2012届高考数学第一轮反函数专项复习教案

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1、2012届高考数学第一轮反函数专项复习教案2反函数●知识梳理1反函数定义：若函数=f（x）（x∈A）的值域为，由这个函数中x、的关系，用把x表示出，得到x=（）如果对于在中的任何一个值，通过x=（），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（）就表示是自变量，x是自变量的函数这样的函数x=（）（∈）叫做函数=f（x）（x∈A）的反函数，记作x=f－1（）在函数x=f－1（）中，表示自变量，x表示函数习惯上，我们一般用x表示自变量，表示函数，因此我们常常对调函数x=f－1（）中的字母x、，把它改写成=f－1（x）2互为反函数的两个函数=f（x）与=f－1（x

2、）在同一直角坐标系中的图象关于直线=x对称3求反函数的步骤：（1）解关于x的方程=f（x），得到x=f－1（）（2）把第一步得到的式子中的x、对换位置，得到=f－1（x）（3）求出并说明反函数的定义域〔即函数=f（x）的值域〕●点击双基1（200年北京东城区模拟题）函数=－（x≠－1）的反函数是A=－－1（x≠0）B=－+1（x≠0）=－x+1（x∈R）D=－x－1（x∈R）解析：=－（x≠－1）x+1=－x=－1－x、交换位置，得=－1－答案：A2函数=lg2（x+1）+1（x＞0）的反函数为A=2x－1－1（x＞1）B=2x－1+1（x＞1）=2x+1

3、－1（x＞0）D=2x+1+1（x＞0）解析：函数=lg2（x+1）+1（x＞0）的值域为{

4、＞1}，由=lg2（x+1）+1，解得x=2－1－1∴函数=lg2（x+1）+1（x＞0）的反函数为=2x－1－1（x＞1）答案：A3函数f（x）=－（x≥－）的反函数A在［－，+∞）上为增函数B在［－，+∞）上为减函数在（－∞，0］上为增函数D在（－∞，0］上为减函数解析：函数f（x）=－（x≥－）的值域为{

5、≤0}，而原函数在［－，+∞）上是减函数，所以它的反函数在（－∞，0］上也是减函数答案：D4（200年春季上海，4）函数f（x）=－x2（x∈（－∞，－2

6、］）的反函数f－1（x）=______________解析：=－x2（x≤－2），≤－4∴x=－x、互换，∴f－1（x）=－（x≤－4）答案：－（x≤－4）若函数f（x）=，则f－1（）=___________解法一：由f（x）=，得f－1（x）=∴f－1（）==1解法二：由=，解得x=1∴f－1（）=1答案：1评述：显然解法二更简便●典例剖析【例1】设函数f（x）是函数g（x）=的反函数，则f（4－x2）的单调递增区间为A［0，+∞）B（－∞，0］［0，2）D（－2，0］解析：f（4－x2）=－lg2（4－x2）x∈（－2，0］时，4－x2单调递增；x∈

7、［0，2）时，4－x2单调递减答案：深化拓展1若=f（x）是［a，b］上的单调函数，则=f（x）一定有反函数，且反函数的单调性与=f（x）一致2若=f（x），x∈［a，b］（a＜b）是偶函数，则=f（x）有反函数吗？（答案：无）【例2】求函数f（x）=的反函数解：当x≤－1时，=x2＋1≥2，且有x=－，此时反函数为=－（x≥2）当x＞－1时，=－x+1＜2，且有x=－+1，此时反函数为=－x+1（x＜2）∴f（x）的反函数f－1（x）=评述：分段函数应在各自的条下分别求反函数式及反函数的定义域，分段函数的反函数也是分段函数【例3】已知函数f（x）是函数=

8、－1（x∈R）的反函数，函数g（x）的图象与函数=的图象关于直线=x－1成轴对称图形，记F（x）=f（x）+g（x）（1）求F（x）的解析式及定义域（2）试问在函数F（x）的图象上是否存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与轴垂直?若存在，求出A、B两点坐标；若不存在，说明理由解：（1）由=－1（x∈R），得10x=，x=lg∴f（x）=lg（－1＜x＜1）设P（x，）是g（x）图象上的任意一点，则P关于直线=x－1的对称点P′的坐标为（1+，x－1）由题设知点P′（1+，x－1）在函数=的图象上，∴x－1=∴=，即g（x）=（x≠－2）∴F（x）=f（

9、x）+g（x）=lg+，其定义域为{x

10、－1＜x＜1}（2）∵f（x）=lg=lg（－1+）（－1＜x＜1）是减函数，g（x）=（－1＜x＜1）也是减函数，∴F（x）在（－1，1）上是减函数故不存在这样两个不同点A、B，使直线AB恰好与轴垂直评述：本题是一道综合题，解决第（2）小题常用的方法是反证法，但本题巧用单调性法使问题变得简单明了深化拓展若F（x）当x∈［a，b］时是单调函数，则F（x）图象上任两点A、B连线的斜率都不为零●闯关训练夯实基础1（2004年全国Ⅱ）函数=+1（x≥1）的反函数是A=x2－2x+2（x＜1）B=x2－2x+2（x≥1）=x

11、2－2x（x＜1）D=x2－2x（x≥1）解析：=+1（x≥1）≥