量子力学的基本原理.pdf

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1、第四章量子力学的基本原理态Ψ演化方程ih∂Ψ=HˆΨtò从态函数能知道什么如何和物理结果关于力学量的测量联系起来ò量子力学的数学结构4.1动力学变量的算符表示和量子力学的基本假设v基本假设之一单粒子的空间运动状态由一个复函数ψ(r)描述v23v3基本假设之二ψ(r)dr正比于在r处体积微元dr中观察到粒子的概率基本假设之三1如果ψ和ψ是粒子的可能状态的态函数则12ψ=cψ+cψ2.81122也是一个可能的态函数其中c和c为任意常数122设在某时刻t态函数ψ由ψ和ψ按2.8线性叠加而成则在大于t的时刻0120

2、t这种叠加关系不变也就是说如果到t时刻三个状态ψψ和ψ分别演化成12ψ′ψ′和ψ′则他们仍然存在关系12ψ′=cψ′+cψ′2.91122基本假设之四单粒子的态函数满足演化方程vvih∂Ψ(r,t)=HˆΨ(r,t)2.28tv其中Hˆ为哈密顿量算符在势场V(r,t)中的单粒子哈密顿量算符为2ˆh2vH=−∇+V(r,t)2M一厄米共轭算符和厄米算符+设Fˆ是一个线性算符见2.3节与Fˆ对应存在唯一的一个算符Fˆ使下式1+(Fˆψ,ϕ)=(ψ,Fˆϕ)4.1+对任意两个态函数ψ和ϕ都成立内积定义见2.10称

3、Fˆ为Fˆ的厄米共轭算符4.1用积分表示**∫()Fˆψϕdτ=∫ψFˆϕdτ+如果一个算符等于它的厄米算符即Fˆ=Fˆ则称其为厄米算符厄米共轭的几条规则++1.()Fˆ=Fˆ4.2+++2.(Aˆ+Bˆ)=Aˆ+Bˆ4.3+++3.()AˆBˆ=BˆAˆ4.4+*4.若c为常数则c=c4.5二厄米算符本征函数组的性质课本4.4节+设Fˆ是一个厄米算符即Fˆ=Fˆ记它的本征方程为Fˆϕ=λϕ4.6nnn若指标n取分立值如n=1,2,3,L则称算符有分立谱若指标n取连续值则称算符有连续谱有分立谱的算符有连续谱

4、的算符也有混和着分立谱和连续谱的算符为了表述方便以下我们假设算符的谱是分立的物理上连续谱通常可以用足够密的分立谱来近似大部分关于分立谱的数学结论可以简单的推广到连续谱的情形也有连续谱使问题复杂化的个别情形遇到时将会说明1厄米算符的本征值为实数2厄米算符的不同本征值对应的本征函数正交若有多于一个线性独立的本征函数对应同一个本征值即所谓简并的情形显然也可以通过适当的组合使线性独立的简并态函数互相正交通常都是这样约定的3厄米算符本征函数组构成态空间希尔伯特空间的完备基底记厄米算符Fˆ的本征态函数组为{}ϕ其中包括

5、简并和非简并的所有本征态n并且是相互正交的我们还假定以对本征态进行了归一化因此()ϕ,ϕ=δ4.7mnmn2数学上可以证明态空间中的一个任意态函数ψ都可以写成ψ=∑cnϕn4.8n也就是说本征态组{}ϕ构成态空间的一套完备基n取4.8式与ϕ的内积易得展开系数mc=()ϕ,ψ4.9mm以下我们设ψ也是归一化的即(ψ,ψ)=14.10把4.8代入得2∑cn=14.11n把4.9代入4.8得vv*vvv3rvvv3vψ(r)=(ϕ,ψ)ϕ(r)=ϕ(r′)ϕ(r)ψ(r′)dr′=δ(r−r′)ψ(r′)dr

6、′∑nn∫∑nn∫nn可见*vvvv∑ϕn(r′)ϕn(r)=δ(r−r′)4.12n此式称为厄米算符本征态组的封闭性它和完备性是等价的对连续谱情况复杂一点首先连续谱的本征态常常不能归一化另外仅是厄米算符这一条件还不足以保证算符的本征态组构成态空间的完备基数学上严格地说自伴算符必定是厄米算符分立谱的厄米算符必定是自伴算符但连续谱的厄米算符未必是自伴算符的本征态组一定是完备的但证明一个算符是自伴算符相当困难对一般的物理应用人们常常默认物理量对应的算符也是自伴算符在第二章关于叠加原理的讨论中曾经猜想展系

7、数具有概率幅的意义在此我们对玻恩解释作一推广基本假设之二的推广设任意态ψ的展开式4.8中{}ϕ是正交归一的在态nϕ中测量某物理量记为F的结果有确定的值记为λ如果与λ对应的线nnn性独立的态一共有d个d度简并{}ϕ

8、i=1,2,L,d那么在ψ中测量Fnnnind2n得到结果λn的概率为∑cnii=13由展式4.8和上述关于基本假设之二的推广可以定义一个与物理量F相应的线性算符Fˆ使它的本征态为{}ϕ其相应于ϕ的本征值为λ即本征方nnn程为4.6Fˆ对任意态ψ的作用如下Fˆψ=Fˆ∑cnϕn=∑cnFˆϕn=∑

9、cnλnϕn4.13nnn给定任意一个ψc可由4.9确定因此Fˆ对任意态ψ的作用完全由它n的本征值测量F的可能值和本征态在其中测量F一定得到相应的本征值定义对有简并的情形可以增加一个下标以区分简并态把4.13写成dnFˆψ=∑∑λcϕ4.13nninini=1其中d为简并度{}ϕ假定已正交归一化nni由物理的考虑与可测量的物理量F对应的算符Fˆ的本征态组必须是态空间完备的基底因而Fˆ应该是一个厄米自伴算符理由如下