量子力学基本原理分析理解

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1、课程设计：量子力学基本原理分析理解目的：加深对呈子力学基本原理理解和应用指导教师：张晓霞教授学号：2905402036姓名：胡淼一、说明量子力学中粒子的状态是由波函数描写实物粒子的波粒二象性量子理论的发展过程是人们对微观世界的认识逐步深化的过程。在Planck-Einstein的光量子论(光子具有波粒二象性)的启发下，面对Bohr的原子的量子理论取得的成功和碰到的困难，deBroglie(1923)提出了实物粒子(静质量mHO的粒子，例如电子)也具有波粒二象性的假说：一个能量为E动量为p的质点，同时具有粒子性

2、和波动性，其波长入由p确定，频率v由能量E确定。自由粒子满足的徳布罗意关系：E二hvH方e(1)至此，人们清楚地认识到微观粒子不是经典粒子，也不是经典波，不能用经典的牛顿定律来描述其运动状态，必须引进一种新的函数來描述其波粒二象性波函数。波函数的统计解释把微观粒了的粒了性和波动性统一起来的是M.Born(1926)提岀的几率波。他认为，粒了的干涉和衍射实验中所揭示的波动性质，既可以看成大量粒子在同一实验中的统计结果，也可看成单个粒子在许多次相同实验中的统计结果。在分析电子的双缝干涉实验时可以发现在底片r点附近

3、干涉花样的强度0C电子岀现在r附近的几率。于涉图样如图(1)图(1)设干涉波用机巧来描述，干涉花样在空间的分布则用I氛＜91啪述，这里I叭CF的意义与经典波不同，是刻画粒子在空间岀现儿率大小的量。既然儿率波决定粒子在空间出现的儿率，那么，在t时刻，几率波应该是空间位置(x,y,z)的函数，我们把该函数写为g%兀勺或屮t),称为波函数。所以，量子力学中波函数所描述的不是实在的物理量，而是粒子在空间分布的儿率。其实比较我们经典力学中对波动性的解释：波动性是指某种物理在空间分布呈周期性变化，并且山于波的相干性，而岀

4、现干涉衍射等现象。在的Boni统计解释中，他保留了波最重要的特性一一相干叠加，不过他把“某种物理量”改为“粒子出现的几率”。量更确切的说，表示在r点附近体积元迪墮z内找到粒子的几率，这就是Born对波函数的统计解释，是量子力学基本原理之一。按照Born对波函数的统计解释在非相对论的情况下很自然要求该粒子在空间各点的概率之和为1,即要求波函数中。满足下列条件：Ll+(r)l2*=l而且在某一时刻在空间某点出现的几率是单值的，因此，除孤立奇点外，波函数♦(r,”还应满足是r的单值、有界、连续的函数。二、用态叠加原

5、理分析双缝干涉实验量子力学中态叠加原理：对于一般情况，如果啊和申2是体系的可能态，那么他们的线性叠加♦=Cl*l+c2*2(C八C2也是这个体系的一个可能状态。现在，我们利用上述态叠加原理来讨论电子的双缝干涉现象（对光子同样适用，但本文就简单起见只讨论电子）。一个电子有啊和帕两种可能的态，如图（2），啊是通过员的电子的态，啊是通过％电子的态，旳二&申1+耳申£是这两种态的叠加。图(2)按照态叠加原理，申也是电子可能状态。那么，根据上节波函数统计解释，电子的儿率分布为:II申F=1兔涉1+也％卩=（陀“申厂+巾

6、“申形（刊涉氐涉』电子穿过狭缝1出现在P点的几率密度电子穿过狭缝2出现在P点的几率密度相干项正是由于相干项的出现，才产生了衍射花纹。把（4）式推广到更一般情况，态■可以表示为许多态・・•的飯怪鼻加＞Hh申二C］叽+切％+…%+••=Cr*h三、建立薛定谭方程在经典力学中，体系运动状态随时间变化遵循牛顿方程，牛顿方程是关于变量t的二阶全微分方程。在量了力学中，体系的运动状态由波函数0描述。和经典力学相似可以建立一个决定随时间t变化规律的方程式。从物理上看，这个方程必须满足：(1)t=t0时刻，已知初态且只知道这

7、样一个初始条件，所以，描写离子状态的波函数所满足的方程只能含I)对时间t的一阶导数。⑵"要满足态叠加原理，即若0和1>S(r>t)是方程的解，那么・(r?t)丫・](r,t)+c£^2(r,t)也应该是方程的解。因此方程必须是线性的，只能包含・，"対■捐的一阶导数和对坐标各阶导数的一次项，不能包含它们的平方或开方项。⑶方程的系数不应包含状态参量，如动量，能量等，因为方程系数如含有状态的参量，则方程只能被粒子的部分状态所满足，而不能被所以状态满足。根据以上三个条件来建立波函数满足的方程。对于自由粒子这一特

8、殊情况，我们已知方程的解是平面波:申(“t)=Cp，F-Et>将平面波(6)式对t和x,y,7求微商得(7)-tV2i

9、f=p2申在非相对论的情况下对与自由粒子，能量等于动能由(7)、(8)、(9)得到式(10)就为自由粒子波函数所满足的微分方程，其中m为粒子的质呈。由式(7)(8)可看出能量和动量作用在波函数上相当于算符和一"¥作用在波函数上，即有01把式(10)推广到更一般情况，来建立力场中粒子