课程设计：量子力学基本原理分析及理解

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1、课程设计：量子力学基本原理分析理解课程设计目的：加深对量子力学基本原理理解及应用☞说明量子力学中粒子的状态是用波函数描写量子力学是反映微观粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）运动规律的理论，它是深入了解物质的结构及其各种特性的基础，是20世纪20年代在总结大量实验事实和旧量子论的基础上建立起来的。量子力学的实验基础是物质的波粒二象性。德布罗意在光的波粒二象性的启示下，根据经典质点力学同几何光学十分相似这一特点，在1923~1924年提出物质波的假说：一个能量为E、动量为p的质点同时具有波动性，其波长λ由动量p确定，频率υ则由能量E确定：该公式称为

2、德布罗意公式，或德布罗意关系。自由粒子的能量和动量都是常量，所以由德布罗意关系可知：与自由粒子联系的波，她的频率和波矢（或波长）都不变，即它是一个平面波。但是经典力学中关于质点运动的轨道的概念不适用于微观客体，必须放弃。因为微观客体具有波动性，而且是一种统计意义下的波——几率波：波在空间某处的强度只能确定微观客体以微粒形式出现在该处的几率，而不能确定微粒在什么时刻到达什么地方。因此，量子力学中微观客体的状态要按波的概念来描述，即用波函数描述。知道了描写微观客体的波函数后，由波函数振幅绝对值的平方，就可以得出粒子在空间任意一点出现的几率。因此我们说波

3、函数描写体系的量子状态（简称状态或态）。☞用叠加原理分析双缝干涉实验在经典力学中，声波和光波都遵从叠加原理：两个可能的波动过程和线性叠加的结果也是一个可能的波动过程。量子力学中的叠加原理：对于一般情况，如果和是体系的可能状态，那么，它们的线性叠加（、是复数）（1）也是这个体系的一个可能状态。态叠加原理还有下面含义：当粒子处于态和的线性叠加态时，粒子是既处在态，又处在态。式（1）表示，当双缝都开着时，光子（电子）既在，也在态。光子在空间中的几率分布为：（2）上式右边第一项是粒子穿过上狭缝出现在屏幕上P点的几率密度，第二项是粒子穿过下狭缝出现在屏幕上P

4、点的几率密度，第三项、第四项是和的干涉项。式（1）仅表示两个态和的线性叠加，推广到更一般的情况，态可以表示为许多态，，…，，…的线性叠加，即：（3）式中，，，…，…为复数。☞建立薛定谔方程自由粒子的波函数是平面波：（4）把式（4）对时间求偏微商，得到：把式（4）对坐标求二次偏微商，得到：同理有：将以上三式相加，得：（5）自由粒子的能量和动量之间的关系式为：（6）式中，是粒子的质量。比较式（4）和式（5）两式，我们得到自由粒子的波函数所满足的微分方程：（7）它满足前面所述的条件。式（4）和式（5）两式可改写成如下形式：（8）（9）式中，是劈形算符：由

5、（8）和（9）可以看出，粒子能量E和动量p各与下列作用在波函数上的算符相当：（10）这两个算符依次为能量算符和动量算符。设粒子在力场中的势能为。在这种情况下，粒子的能量和动量关系式为：（11）上式两边乘以波函数（r，t），并以式（10）代入，便得到（r，t）所满足的微分方程：（12）这个方程称为薛定谔波动方程或薛定谔方程，也常见称为波动方程。把它推广到多粒子的情况，得到多粒子体系的薛定谔方程：（13）☞证明动量算符是线性厄密算符▲线性性设和是任意两个波函数，且有，（14）态叠加原理可知，对于，则有（15）因此，的线性性得证。▲厄密性由式（10）我们

6、可以得出在三维情况下动量算符要证明该算符的厄密性，即为简单起见，这里只考虑一维情况即的厄密性就束缚态而言，当时，和都趋于零，所以=（16）即厄密性得证。综上，动量算符是线性厄密算符。☞分析本征函数的性质厄密算符的本征函数具有正交性、归一性和完备性。▲正交归一性属于不同本证值的两个本征函数相互正交，这种性质，是厄密算符的本征函数所共有的。下面我们证明这个定理。设是厄密算符的本征函数，它们所属的本征值都不想等，我们要证明当时，有：（17）证明如下：已知：（18）（19）且当时：（20）因为是厄密算符，它的本征值都是实数，即，所以式（18）的共轭复式可写

7、为：（21）以右乘上式两边，并对变量的整个区域积分，得：（22）以左乘式（19）两边，并对变量的整个区域积分，得：（23）由厄密算符定义式有：即式（22）和式（23）两等式的左边相等，因而该两等式的右边也相等：或（24）由式（20）有：所以式（24）给出：无论的本征值组成分立谱还是连续谱，这个定理及证明都成立。在的本征值组成分立谱的情况下，假定本征函数已归一化：（25）则式（17）和式（25）两式可以合并为（26）在的本征值组成连续谱的情况下，假定本征函数已归一化，则：（27）满足条件式（26）或式（27）的函数系，称为正交归一系。▲完备性如果是满

8、足一定条件的厄密算符，它的正交归一本征函数是，对应的本征值是，使任一函数可以按展开为级数：（28）式中，与x无关。本征函数