2014高三数学一轮复习 5.4数列求和课件.ppt

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1、[备考方向要明了]考什么怎么考熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式.1.以填空题的形式考查可转化为等差数列或等比的求和问题．2.以解答题的形式考查利用错位相减法、裂项相消法或分组求和法等求数列的前n项和，如2010年高考T19.[归纳知识整合]2．倒序相加法如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．3．错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前n项和就是用此法推导的．4．裂

2、项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．[探究]1.应用裂项相消法求和的前提条件是什么？提示：应用裂项相消法求和的前提条件是数列中的每一项均可分裂成一正一负两项，且在求和过程中能够前后抵消．2．利用裂项相消法求和时应注意哪些问题？提示：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或前面剩下两项，后面也剩下两项．5．分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．6．并项求和法一个数列的前n项和，可两两结合求

3、解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.答案：63．(教材习题改编)(2－3×5－1)＋(4－3×5－2)＋…＋(2n－3×5－n)＝________.4．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1·n，则S100＝______.解析：S100＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100＝(1－2)＋(3－4)＋(5－6)＋…＋(99－100)＝－50.答案：－505．已知数列{an}的前n项和为Sn且an＝n·2n，则S

4、n＝________.答案：(n－1)·2n＋1＋2分组转化求和[例1](2012·山东高考)在等差数列{an}中，a3＋a4＋a5＝84，a9＝73.(1)求数列{an}的通项公式；(2)对任意m∈N*，将数列{an}中落入区间(9m,92m)内的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.[自主解答](1)因为{an}是一个等差数列，所以a3＋a4＋a5＝3a4＝84，a4＝28.设数列{an}的公差为d，则5d＝a9－a4＝73－28＝45，故d＝9.由a4＝a1＋3d，得28＝a1＋3×9，即a1＝1.所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋9(n－1)＝9n－8(n∈

5、N*)．分组转化求和的通法数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求的前n项和的数列求和．1．(2013·包头模拟)已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．解：(1)由x1＝3，得2p＋q＝3，又因为x4＝24p＋4q，x5＝25p＋5q，且x1＋x5＝2x4，得3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得p＝1，q＝1.裂项相消法求和[例2]设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＝nan－

6、n(n－1)(n＝1,2,3，…)．(1)求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；[自主解答](1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1－2(n－1)，得an－an－1＝2(n＝2,3,4，…)．所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列．所以an＝2n－1.—————————————————用裂项相消法求和应注意的问题利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差与系数相乘后与原项相等．2．等比数列{an}的各

7、项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；错位相减法求和[例3](2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；(2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，n∈N*，证明Tn－8＝an－1bn＋1(n∈N*，n≥2)．(2)证明：由(1)得Tn＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋(3n－1)×2n，①2Tn＝2×22＋5×23＋…＋