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《大学经典课件之高等数学——8-5隐函数存在定理与隐函数.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章第五节隐函数存在定理与隐函数微分法一、一个方程的情形二、方程组的情形机动目录上页下页返回结束本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.2例如,方程x+y+C=0当C<0时,能确定隐函数;当C>0时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求导方法问题.机动目录上页下页返回结束一、一个方程的情形.1F(x,y)=0隐函数存在定理1：设函数F(x,y)在点P(x,y)的00某一邻域内具有连续的一阶偏导数，且F(x,y)=0，00F′(x,y)≠0，则方程F(x,y)=0在
2、点P(x,y)的某一y0000邻域内唯一确定了一个具有连续一阶导数的函数y=y(x)，它满足条件y=y(x)，并有00dyF′x=−dxF′y隐函数的求导公式机动目录上页下页返回结束证明：只推导公式。由条件，知F[x,y(x)]=0∂F∂Fdy两边对x求导，得+=0∂x∂ydx而Fy′(x0,y0)≠,0解得dyF′x=−dxF′y机动目录上页下页返回结束22例１验证方程x+y−1=0在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数y=y(x)，且满足y)0(=1，并求y′)0(，y′′
3、)0(的值。22解令F(x,y)=x+y−1则Fx′=2x,Fy′=2y,F)1,0(=,0F′)1,0(=2≠,0y22依定理知方程x+y−1=0在点)1,0(的某邻域内能唯一确定一个具有连续一阶导数的隐函数y=y(x)，且y)0(=1。机动目录上页下页返回结束dyF′xdyx则=−=−,=,0dxF′ydxyx=0⎛x⎞y−x⎜−⎟2dyy−yx′⎝y⎠1=−=−=−,222y3dxyy2dy=−.12dxx=0注意：此题在点)0,1(附近不满足定理的条件，不能确定隐函数y=y(x)，但能唯一确定
4、隐函数x=x(y)机动目录上页下页返回结束.2F(x,y,z)=0隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某一邻域内有连续的一阶偏导数，000且F(x,y,z)=0，F′(x,y,z)≠0，则方程000z000F(x,y,z)=0在点P(x,y,z)的某一邻域内能000唯一确定一个具有连续一阶偏导数的函数z=f(x,y)，它满足条件z=f(x,y)，并有000∂zFx′∂zFy′=−=−∂xFz′∂yFz′定理证明从略,仅就求导公式推导如下:机动目录上页下页返回结束设z=f(x,y
5、)是方程F(x,y)=0所确定的隐函数,则F(x,y,f(x,y))≡0两边对x求偏导∂zFx′+Fz′≡0∂x在(x,y,z)的某邻域内F′≠0000z∂zF′x=−∂xF′z∂zFy′同样可得=−∂yF′z机动目录上页下页返回结束求隐函数导数的另一方法—方程两边直接求导xsiny+e−xy−1=,0y=y(x)y′两边对x求导x=0xe−yxcosy⋅y′+e−y−xy′=0=−cosy−x)0,0(两边再对x求导=−12x−siny⋅(y′)+cosy⋅y′′+e−y′−y′−xy′′=0令x=
6、0,注意此时y=,0y′=−12dy=−32dxx=0机动目录上页下页返回结束22ydy例2已知lnx+y=arctan，求.xdx22y解1令F(x,y)=lnx+y−arctan,xx+yy−x则F′(x,y)=,F′(x,y)=,x22y22x+yx+ydyF′x+yx=−=−.dxF′y−xy机动目录上页下页返回结束22ydy例2已知lnx+y=arctan，求.xdx解2方程两边直接对x求导，得y′x−y12x+2yy′x2⋅=22y2x+y21+()xx+y整理得y′=−.y−x机动目录上
7、页下页返回结束22ydy例2已知lnx+y=arctan，求.xdx解3方程两边直接求微分，得xdy−ydx12xdx+2ydyx2⋅=22y2x+y21+()xx+ydyx+y整理得dy=−dx.∴=−.y−xdxy−x机动目录上页下页返回结束2222∂z∂z例3设x+y+z−4z=0，求,.2∂x∂x222解1令F(x,y,z)=x+y+z−4z,∂zF′x则xF′=2x,F′=2z−,4=−=,xz∂xF′2−zz∂zx22(−z)+x2(−z)+x⋅∂z∂x2−z==222∂x2(−z)2(−
8、z)222(−z)+x=.32(−z)机动目录上页下页返回结束222解2对x+y+z−4z=0两边关于x求导∂z∂z∂zx得2x+2z−4=0∴=,∂x∂x∂x2−z222解3对x+y+z−4z=0两边求微分得2xdx+2ydy+2zdz−4dz=0xy解得dz=dx+dy2−z2−z∂zx∂zy∴=,=,∂x2−z∂y2−z机动目录上页下页返回结束∂z∂x∂y例4设z=f(x+y+z,xyz)，求，，.∂x∂y∂z∂z思路：把z看成x,y的函数对x求偏
