椭圆及其标准方程教案.pdf

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1、椭圆及其标准方程椭圆的概念：平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数(大于

2、F1F2

3、)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距。通常常数记作2a，焦距记作2c，有2a＞2c标准方程的推导①建立坐标系设动点坐标：②寻找动点满足的几何条件；③把几何条件坐标化；④化简得方程；(1)建系设点设椭圆的焦距为2c（c＞0），M与F1、F2的距离之和为2a，以两定点F1、F2的直线为xy轴，线段F1F2的垂直平分线M为y轴，建立直角坐标系，M(x，y)为椭圆上任意一点，F1oF2x则有F1（-c，0），F2（c，0）(2)动点M满足的几何条件

4、由椭圆的定义不难得出动点M满足的条件为：MF1MF22a（3）动点M满足的代数方程：2222(xc)y(xc)y2a（4）化简方程：22222222（a-c）x+ay=a(a-c)根据椭圆定义知道2a＞2c，22222xy那我们不妨令b=a-c，122ab22xy221（a＞b＞0）说明：ab（1）、方程中条件a＞b＞0不可缺少（2）、b的选取虽然是为了方程形式简洁与和谐，但也有实222际的几何意义，即：b=a-c；222（1）、椭圆2x+y=k（k﹥0）的焦点坐标是＿＿＿22xy（2）、如果方程+=1表示的曲线为椭圆，那么的取2

5、1值范围是＿＿＿4、例题讲评例1、平面内两个定点的距离是8，写出它到这两个定点的距离的和是10的点的轨迹的方程。y解：这个轨迹是一个椭圆，两个定M点是焦点，用F1、F2表示，取过点F1、F2的直线为X轴，线段F1F2的垂直平FFx1o2分线为Y轴2由题意，2a=10，2c=82所以a=5，c=4，b=32x2y∴所求椭圆的标准方程为1259如果取过F1、F2的直线为Y轴，线段F1F2的垂直平分线为X轴，22YX则方程为1259例2、三角形ABC中，AB固定，∣AB∣=10，且sinA+sinB=2sinC，求点C的轨y迹方程C解：因为sinA+

6、sinB=2sinC所以由正弦定理得：ABxo∣BC∣+∣AC∣=2∣AB∣而∣AB∣=10，则∣BC∣+∣AC∣=20以A、B所在直线为X轴，线段AB的垂直平分线为Y轴，建立坐标系，222可得：a=100，c=25，b=7522xy所以椭圆的标准方程为+=1100755、练习（1）写出适合下列条件的椭圆的标准方程：①a=4，b=1，焦点在X轴上22②a=16，c=15，焦点在Y轴上5③两个焦点的坐标是（﹣2，0），（2，0），并且过点P（，–23）2参考答案：一、DCBABB0CCAC2222yxxy2二、11．m(1,3)(3,1)12.113

7、.1(y0)14.15101691442三、2222xyxy15.1或1144808014422y16.利用定义法∴x14417．(12分)[解析]：设A(x,y)，B(x,y)，e,由焦半径公式有1122581aexaex=a，∴xx=a，12125215153即AB中点横坐标为a，又左准线方程为xa，∴aa，即a=1，∴椭圆4444222方程为x+25y=192222xyyx18.（1）1或1161216123（2）设长轴为2a，焦距为2c，则在FOB中，由FOB得：ca，所以FBF2221322

8、22xy的周长为2a2c2a3c423，a2,c3,b1故得：1。412

9、PF

10、

11、PF

12、12

13、PF

14、

15、PF

16、时取等号），19.（1）

17、PF12

18、

19、PF

20、100（当且仅当122PF12

21、

22、PF

23、max1001643256（2）S

24、PF

25、

26、PF

27、sin60，

28、PF

29、

30、PF

31、①FPF121212233222

32、PF

33、

34、PF

35、2

36、PF

37、

38、PF

39、4a12122又2223

40、PF12

41、

42、PF

43、4004c②

44、PF

45、

46、PF

47、4c2

48、PF

49、

50、PF

51、cos601212由①②得cb68

52、