2002-数三真题、标准答案及解析.pdf

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1、2002年全国硕士研究生入学统一考试经济数学三试题详解及评析一、填空题1nn−21a+n（1）设常数a≠,则limln[]=.2n→∞na(12)−1【答】12−a11nn−+21an1na(12)−【详解】因为lim[]=lim[1+=]12−−aae12n→∞na(12)−n→∞na(12)−1nn−+21an12−a1所以limln[]==lnen→∞na(12)−−12a111y（2）交换积分次序：42dyfxydx(),,+dy2fxydx()=___________.∫∫0yy∫∫141x【答】2dxfxydy(),∫∫0x2【详解】积分区

2、域DDD=+,其中12⎧⎫1Dx1=≤⎨⎬(),

3、yyy0≤,≤xy≤,⎩⎭4⎧⎫111Dx2=≤⎨⎬(),

4、yyy≤,≤x≤⎩⎭422⎧⎫12于是D也可以表示为Dx=≤⎨⎬(),

5、yxxyx0≤,≤≤.⎩⎭2故1111yx42dyfxydx(),,,+=dy2fxydx()2dxfxydy().∫∫00yyx∫∫1∫∫24-1-⎡⎤122−⎢⎥T（3）设三阶矩阵A=212,三维向量α=()a,1,1.已知Αα与α线性相关，⎢⎥⎢⎥⎣⎦304a＝________【答】-1【详解】由题设，存在k，使得Αα=αk，即⎡⎤122−⎡a⎤⎢⎥⎢⎥212=k1⎢⎥

6、⎢⎥⎢⎥⎣⎦304⎢⎣1⎥⎦⎧ak+−=22a,⎪即⎨212,ak++=可得ak=−1,=1.⎪⎩34,ak+=故所求a为－1.（4）设随机变量X和Y的联合概率分布为PYX−10100.070.180.1510.080.320.202222则X和Y的斜方差cos()XY,=__________【答】－0.02【详解】由题设，有X01P0.40.6-2-X−101P0.150.50.35且2X01P0.40.62Y01P0.50.522XY01P0.720.282222从而EXY()===0.28,EX()0.69,EY()0.5,222222故cos()

7、XY,−=EXYEXY(,)()()0.280.3−=−0.02.⎧⎪−−()xθ≥ex,若θ,（5）设总体X的概率密度为fx();θ=⎨而X,,,XXL是来自总体12n⎪⎩0,若x<θX的简单随机样本，则未知参数θ的矩估计量为______n1【答】∑Xi−1ni=1-3-+∞−−()xθ【详解】因为EX()==∫xedxθ+1,0nn11所以，由EX()==X∑Xi,即θ+=1,∑Xini=1ni=1n$1得参数θ的矩估计量为θ=−∑Xi1.ni=1二、选择题（1）设函数f()x在闭区间[,]ab上有定义,在开区间(,)ab上可导,则(A)当fafb(

8、)()0<时,存在ξ∈(,),ab使f()0.ξ=(B)对任何ξ∈(,)ab,有lim[()fxf−()]ξ=0.x→ξ(C)对f()afb=()时,存在ξ∈(,)ab,使f'()ξ=0(D)存在.ξ∈(,)ab,使f()bfafba−()=−'()(ξ).【答】[B]【详解】由题设,f()x在ξ((,)ξ∈ab处可导,从而连续,故有lim[()fxf−=()]ξ0.应选(B).x→ξnnn2nn51ann（2）设幂级数∑axn和∑bxn的收敛半径分别为与，则幂级数∑2x的n=1n=133n=1bn收敛半径为511()AB5.().()C.()D335【

9、答】[A]ab3nn++11【详解】由题设，有lim=,lim=3,nn→∞ab5→∞nn22⎡⎤an+1an+19⎢⎥bnan51+1于是lim⎢⎥==lim=,2nn→∞⎢⎥bn→∞b95n+1⎢⎥a⎣⎦nbn-4-n2ann故幂级数∑2x的收敛半径为，故应选[A].n=1bn（3）设A是mn×矩阵，B是nm×，则线性方程组(ABx)=0（A）当nm>时仅有零解.（B）当时nm>必有非零解.（C）当时mn>仅有零解（D）当时mn>必有非零解【答】[D]【详解】AB为mm×矩阵，当mn>时，有rrn(AB)≤(A)≤

10、选[D].（4）设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵.已知n维列向量α是A的属于特征T−1值λ的特征向量，则矩阵()PAP属于特征值λ的特征向量是T−1T−1()ABCDPPPPα()αα()()()α【答】[B]TTTT−1T【详解】由已知A=αλα,于是PAα==λαP,,PAP()αλαPTTT−1TT−1又由于A=A,有()PAPPα=λαP,可见矩阵(PAP)属于特征值λ的特征T向量是Pα.（5）设随机变量X和Y都服从标准正态分布，则222（A）X+Y都服从正态分布（B）X+Y都服从χ分布.2222X（C）X和Y都服从χ分布.（D）服从F分布

11、.2Y【答】[C]【详解】由于X、Y不一定相互独立,故（A）、（B）、(D)不一