2006—数三真题、标准答案及解析

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1、2006年考研数学（三）真题一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.n()−1⎛⎞n+1（1）lim⎜⎟=______.n→∞⎝⎠nf(x)（2）设函数f()x在x=2的某邻域内可导,且fx′()=e，f(21)=，则f′′′()2=____.122（3）设函数f()u可微,且f′()0=,则zfxy=−(4)在点(1,2)处的全微分2dz=_____.()1,2⎛⎞21（4）设矩阵A=⎜⎟，E为2阶单位矩阵，矩阵B满足BABE=+2，则B=.⎝⎠−12（5）设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0,3]上的均匀分布，则PX{max{,Y}≤=1

2、}_______.1−xQQ：81321659（6）设总体X的概率密度为f()xe=−()∞>fx′′，Δx为自变量x在点x处的0增量，Δyy与d分别为f()x在点x处对应的增量与微分，若Δx>0，则0(A)0d<

3、fh()（8）设函数f()x在x=0处连续，且lim=1，则2h→0h梦飞翔考研工作室(A)ff()00=且−′()0存在(B)ff()01=且−′()0存在(C)ff()00=且+′()0存在(D)ff()01=且+′()0存在[]∞（9）若级数∑an收敛，则级数n=1梦飞翔考研工作室友情提供QQ：81321659∞∞n(A)∑an收敛.（B）∑(1)−an收敛.n=1n=1∞∞aa+nn+1(C)∑aann+1收敛.(D)∑收敛.[]n=1n=12（10）设非齐次线性微分方程yPxyQx′+=()()有两个不同的解y(),(),xyxC为任意常12数，则该方程的通解是（Ａ

4、）Cyxyx[()−()].（Ｂ）yxCyxyx()+−[()()].12112（Ｃ）Cyxyx[()+()].（Ｄ）yxCyxyx()++[()()][]12112（11）设f(,)xy与ϕ(,)xy均为可微函数，且ϕ′(,)0xy≠，已知(,)xy是f(,)xy在约y00束条件ϕ(,)0xy=下的一个极值点，下列选项正确的是(A)若fxy′(,)0=，则fxy′(,)0=.x00y00(B)若fxyx′(,)000=，则fxyy′(,)000≠.QQ：81321659(C)若fxy′(,)0≠，则fxy′(,)0=.x00y00(D)若fxy′(,)0≠，则fxy′(,)

5、0≠.[]x00y00（12）设α,,,ααL均为n维列向量，A为mn×矩阵，下列选项正确的是12s(A)若α,,,ααL线性相关，则AAα,,,ααLA线性相关.12s12s(B)若α,,,ααL线性相关，则AAα,,,ααLA线性无关.12s12s(C)若α,,,ααL线性无关，则AAα,,,ααLA线性相关.12s12s(D)若α,,,ααL线性无关，则AAα,,,ααLA线性无关.[]12s12s（13）设A为3阶矩阵，将A的第2行加到第1行得B，再将B的第1列的−1倍加到第2梦飞翔考研工作室⎛⎞110⎜⎟列得C，记P=010，则⎜⎟⎜⎟001⎝⎠−1−1（Ａ）CPA

6、=P.（Ｂ）C=PAP.TT（Ｃ）CPA=P.（Ｄ）C=PAP.［］梦飞翔考研工作室友情提供QQ：8132165922（14）设随机变量X服从正态分布N(,)μσ，Y服从正态分布N(,)μσ，且1122PX{−<>−<μμ1211}PY{}则必有(A)σ<σ(B)σ>σ1212(C)μ<μ(D)μ>μ[]1212三、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分7分）πx1s−yinyy设fxy(),,=−x>>0,y0,求1a+xyrctanx(Ⅰ)gx()=limfxy(),；y→+∞(Ⅱ)limgx().+x→0（16）（本

7、题满分7分）QQ：813216592计算二重积分∫∫yx−yxydd，其中D是由直线yxyx=,1==,0所围成的平面区域.D（17）（本题满分10分）证明：当0<<++sin2cosaaπ.（18）（本题满分8分）在xOy坐标平面上，连续曲线L过点M(1,0)，其上任意点Pxyx(,0)(≠)处的切线斜率与直线OP的斜率之差等于ax（常数a>0）.(Ⅰ)求L的方程；8(Ⅱ)当L与直线y=ax所围成平面图形的面积为时，确定a的值.3（19）（本题满分10分）