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1、实验四数值积分与数值微分专业班级：信计131班姓名：段雨博学号：2013014907一、实验目的1、熟悉matlab编程。2、学习数值积分程序设计算法。3、通过上机进一步领悟用复合梯形、复合辛普森公式，以及用龙贝格求积方法计算积分的原理。二、实验题目P1371、用不同数值方法计算积分。（1）取不同的步长.分别用复合梯形及复合辛普森求积计算积分，给出误差中关于的函数，并与积分精确值比较两个公式的精度，是否存在一个最小的，使得精度不能再被改善？（2）用龙贝格求积计算完成问题（1）。三、实验原理与理论基础1.1复合梯
2、形公式及其复合辛普森求解误差关于h的函数：复合辛普森公式：误差关于h的函数：1.2龙贝格求积算法：龙贝格求积公式是梯形法的递推化，也称为逐次分半加速法，它是在梯形公式、辛普森公式和柯特斯公式之间的关系的基础上，构造出一种计算积分的方法，同时它有在不断增加计算量的前提下提高误差的精度的特点。计算过程如下：（1）取，求：（2）求梯形值即按递推公式计算.（3）求加速值，按公式逐个求出T表的地k行其余各元素（4）若（预先给定的精度），则终止计算，并取转（2）继续计算。T表0b-a1234上表指出了计算过程，第二列给出了
3、子区间长度，i表示第i步外推。可以证明，如果充分光滑，那么T表每一列的元素及对角线元素均收敛到所求的积分。四、实验内容程序设计如下：1、复合梯形法M文件：functiont=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);t=h*(0.5*(fa+fb)+sum(f));2、复合辛普森法M文件：functiont=natrapz(fname,a,b,n)h=(b-
4、a)/n;fa=feval(fname,a);fb=feval(fname,b);f1=feval(fname,a+h:h:b-h+0.001*h);f2=feval(fname,a+h/2:h:b-h+0.001*h);t=h/6*(fa+fb+2*sum(f1)+4*sum(f2));3、龙贝格算法M文件：function[I,step]=Roberg(f,a,b,eps)if(nargin==3)eps=1.0e-4;end;M=1;tol=10;k=0;T=zeros(1,1);h=b-a;T(1,1)
5、=(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b));whiletol>epsk=k+1;h=h/2;Q=0;fori=1:Mx=a+h*(2*i-1);Q=Q+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x);endT(k+1,1)=T(k,1)/2+h*Q;M=2*M;forj=1:kT(k+1,j+1)=T(k+1,j)+(T(k+1,j)-T(k,j))/(4^j-1);endtol=abs(T(k+1,
6、j+1)-T(k,j));endI=T(k+1,k+1);step=k;1、复合梯形法运行：>>formatlong;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),formatshort;ans=-0.417062831779470>>formatlong;natrapz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),formatshort;ans=-0.443117908008157>>formatlong;natrapz(inline('
7、sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),formatshort;ans=-0.4443875389971622、复合辛普森法运行：>>formatlong;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,10),formatshort;ans=-0.435297890074689>>formatlong;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,100),formatshort;ans=-0.4441611784156
8、73>>formatlong;natrapzz(inline('sqrt(x).*log(x)'),eps,1,1000),formatshort;ans=-0.4444341176141803、龙贝格算法运行：>>[q,s]=Roberg('sqrt(x)*log(x)',0.0000001,1)q=-0.4444s=9五、实验结果1、复合梯形法结果：>>formatlong;nat
